青春的记忆

摘要： $AB$是椭圆$mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m\ne n)$的斜率为 1 的弦.$AB$的垂直平分线与椭圆交于两点$CD$ (1)求证:$|CD|^2-|AB|^2=4|EF|^2$ 其中$E,F$为$AB,CD$ 的中点. (2)证明:$A,B,C,D$ 四点共圆. 阅读全文

摘要： 已知 $a$ 为常数,函数$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{a-x^2}-\sqrt{1-x^2}}$ 的最小值为$-\dfrac{2}{3}$,则 $a$ 的取值范围______ 阅读全文

摘要： 已知 $r_1=0,r_{100}=0.85,(r_k$ 表示投 k 次投中的概率.) 求证:(1)是否存在$n_0$使得$r_{n_0}=0.5$ (2)是否存在$n_1$使得$r_{n_1}=0.8$ 阅读全文

摘要： 求证：$1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}+\cdots = \dfrac{\pi^2}6$． 阅读全文

摘要： 已知$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_2=2,\dfrac{a_{n+2}}{a_n}=\dfrac{a_{n+1}^2+1}{a_n^2+1}$, 求$[a_n]$_____ 阅读全文

摘要： 评：1.这里处理第三个函数时用到$ab-a-b=(a-1)(b-1)-1$是处理$ab,a+b$之间加减的常见变形。 2.第二个函数$g(x)=sinx,x\in(0,\frac{5\pi}{6})$时是“保三角函数”，这里的$\frac{5\pi}{6}$是区间(0,A)类型的 A的上确界。(具体做法可以看李胜宏，金蒙伟编的从自主招生到竞赛的教材P101。) 阅读全文

摘要： 分析:处理恒成立问题，一般先代特殊值缩小范围。令x=0,则f(a)<f(0),容易知a<0.排除答案C。容易理解a趋向于0时候,是可以的,排除D.在剩余的A,B选项里，显然偏向于A。因为A里的端点在四个选项里出现的最多.(如果实在不会做或者没时间，以上分析是不错的猜选择题的方法)接下来我们再细致分析一下：刚才已经知道a<0,所以y=f(x+a)可以由y=f(x)向右平移|a|个单位得到.结合图像可... 阅读全文

摘要： 解：如图将正四面体放到立方体中，让AB通过$\alpha$面，让$\alpha$面绕着AB动起来。问题就转化成为EF与面$\alpha$线面角$\theta$了。EF的投影为$|EF|cos\theta$.由于$<EF,AB>=\frac{\pi}{4}$故有线面角的最小性得$0\le\theta\ 阅读全文

摘要： 评：最后用到了中间的截面三角形两边之和大于第三边。能不能构成三棱锥时考虑压扁的“降维”打击是常见的方式。 阅读全文

摘要： 评：当若干个变量时抓住主变量，立体几何问题平面化. 阅读全文