MT【354】又一道极值点偏移

(2014天津)已知函数$f(x)=x-ae^x(a\in R)$,有两个零点$x_1,x_2,(x_1<x_2)$
(1)求$a$的取值范围;
(2)证明:$\dfrac{x_2}{x_1}$随着$a$的减小而增大;
(3)证明:$x_1+x_2$随着$a$的减小而增大.

分析:(1)(2)可以通过参变分离研究$y=\dfrac{x}{e^x}$ 的图像,(如图)易得.

(3)由题意可知$\ln x_1=x_1+\ln a,\ln x_2=x_2+\ln a$相减得$\ln\dfrac{x_2}{x_1}=x_2-x_1$

故齐次化得
\begin{align*}
x_1+x_2 & =\dfrac{\ln\dfrac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}(x_1+x_2) \\
 &\xlongequal{\rm \frac{x_2}{x_1}=t>1}\dfrac{(1+t)\ln t}{t-1}=g(t)\\
\end{align*}
$g^{'}(t)=\dfrac{-2\ln t+t-\frac{1}{t}}{(t-1)^2}\ge\dfrac{-2*\frac{t-1}{\sqrt{t}}+t-\frac{1}{t}}{(t-1)^2}=\dfrac{(\sqrt{t}-1)^2}{t(t-1)}\ge0$
(这里用到了放缩$\ln x\le \dfrac{x-1}{\sqrt{x}})$
故$x_1+x_2$随$t$的增大而增大,结合(2)知$x_1+x_2$随$a$的减小而增大