随笔分类 - 高三
摘要：设$H$为垂心,且$3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow {HB}+5\overrightarrow {HC}=\overrightarrow 0$,则$\cos\angle AHB=$____
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摘要：实数$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$求$f=\min\{(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\}$的最大值
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摘要：已知单位向量 $\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$ 的夹角为 $120^\circ$，$\left|x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2\right|=\sqrt 3$（$x,y\in\mathbb R$），则 $\left|x\overrightarrow e_1-y\overrightarrow e_2\right|$ 的取值范围是_____
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摘要：已知 $a,b,c\in\mathbb R$，求证：$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|$
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摘要：若二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c>0)$有零点,则$\min\{\dfrac{b+c}{a},\dfrac{c+a}{b},\dfrac{a+b}{c}\}$ 的最大值为____
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摘要：已知$ BC=6,AC=2AB, $点$ D $满足$ \overrightarrow{AD}=\dfrac{2x}{x+y}\overrightarrow{AB}+\dfrac{y}{2(x+y)}\overrightarrow{AC}, $设$f(x,y)=|\overrightarrow{AD}|,$若$ f(x,y)\ge f(x_0,y_0) $恒成立,则$f(x_0,y_0)$的最大值为____
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摘要：(高考压轴题)证明以下命题:
(1)对任意正整数$a$都存在正整数$b,c(b{<}c)$,使得$a^2,b^2,c^2$成等差数列.
(2)存在无穷多个互不相似的三角形$\Delta_n$,其边长$a_n,b_n,c_n$为正整数,且$a_n^2,b_n^2,c_n^2$成等差数列
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摘要：在锐角$\Delta ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,且满足$b^2-a^2=ac$,则$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$ 的取值范围是_____
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摘要：设数列$\{a_n\}$满足:$|a_{n+1}-2a_n|=2,|a_n|\le2,n\in N^+$
证明:如果$a_1$为有理数,则从某项后$\{a_n\}$为周期数列.
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摘要：已知椭圆方程$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$,圆方程$x^2+y^2=r^2,({3}<{r^2}<{4})$,若直线$l$与椭圆和圆分别切于点$P,Q$求$|PQ|$的最大值_____
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摘要：如图.在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,点$M,N$分别是直线$CD,AB$上的动点,点$P$是$\Delta A_1C_1D_1$内的动点(不包括边界),记直线$D_P$与$MN$所成角为$\theta$,若$\theta$的最小值为$\dfrac{\pi}{3}$,则点$P$的轨迹为（ ）
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.抛物线的一部分
D.双曲线的一部分
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摘要：(高考压轴题改编)如图,长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,$AB=11,AD=7,AA_1=12.$一质点从顶点$A$设向$E(4,3,12)$遇到长方体的面反射(服从光的反射原理),将第$i-1$次到第$i$ 次反射点之间的线段记为$L_i(i=2,3,4),L_1=AE$,则$L_1:L_2:L_3:L_4=$______
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摘要：(2016浙江填空压轴题)
已知实数$a,b,c$则 ( )
A.若$|a^2+b+c|+|a+b^2+c|\le1,$则$a^2+b^2+c^2<100$
B.若$|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\le1,$则$a^2+b^2+c^2<100$
C.若$|a+b+c|+|a+b-c|\le1,$则$a^2+b^2+c^2<100$
D.若$|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\le1,$则$a^2+b^2+c^2<100$
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摘要：已知$f(x)=\ln x+ax+b (a>0)$在区间$[t,t+2],(t>0)$上的最大值为$M_t(a,b)$.若$\{b|M_t(a,b)\ge\ln2 +a\}=R$,则实数$t$的最大值为______
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摘要：(2015浙江理科)
已知函数$f(x)=x^2+ax+b,(a,b\in R)$.记$M(a,b)$是$|f(x)|$在区间$[-1,1]$上的最大值.
(1)证明:当$|a|\ge2$时,$M(a,b)\ge2$;
(2)当$a,b$满足$M(a,b)\le 2$,求$|a|+|b|$的最大值.
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摘要：2017清华大学THUSSAT附加学科测试数学(二测)
$\cos^5\dfrac{\pi}{9}+\cos^5\dfrac{5\pi}{9}+\cos^5\dfrac{7\pi}{9}$ 的值为_____
A.$\frac{15}{32}$
B.$\frac{15}{16}$
C.$\frac{8}{15}$
D.$\frac{16}{15}$
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摘要：已知数列$\{\dfrac{1}{n}\}$的前$n$项和为$S_n$,则下面选项正确的是( )
A.$S_{2018}-1>\ln 2018$
B.$S_{2018}-1<\ln 2018$
C.$\ln2018$
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摘要：在平面四边形$ABCD$中,已知$E,F,G,H$分别是棱$AB,BC,CD,DA$的中点,若$|EG|^2-|HF|^2=1,$设$|AD|=x,|BC|=y,|AB|=z,|CD|=1,$则$\dfrac{2x+y}{z^2+8}$的最大值是______
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摘要：已知$F_1,F_2$分别为椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$的左右焦点.$A,B,C$是椭圆上$x$轴上方的三点,
且$AF_1//BO//CF_2$,则$\dfrac{AF_1+CF_2}{OB}$的取值范围_____
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摘要：(2018浙江高考压轴题)
已知函数$f(x)=\sqrt{x}-\ln x.$
(2)若$a\le 3-4\ln 2,$证明:对于任意$k>0$,直线$y=kx+a$ 与曲线$y=f(x)$有唯一的公共点.
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