状态矩阵中指数型矩阵的几个性质描述
2026/9/30 依旧放假前无聊 依旧操作之人
1 引入
现代控制理论开头我们总是引入状态方程：
\[\left\{
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}} & =\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{y} & =\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
\right.
\]
在本文中我们想考量描述内部状态的方程：
\[\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}
\]
如果\(\mathbf{u}=\mathbf{0}\)，得到齐次方程：
\[\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}
\]
考究这个方程在点初值\(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x_0}\)下的通解。这里我们不讨论\(Laplace\)方法，我们只讨论线性代数的解决方法。
在此之前，我们先看同形状的标量方程：
\[\dot{x}=Ax,这里\dot{x}=\frac{dx}{dt},x(0)=x_0
\]
容易有解：
\[x(t)=x_0 e^{At}
\]
这得益于指数标量函数的导数性质：
\[\frac{d}{dt} e^{At} = A e^{At}
\]
那么我们考究能否定义出类似的指数矩阵函数，使得其具有相同的导数性质呢？
为了构造指数矩阵，我们借助指数标量的泰勒级数展开：
\[e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \cdots
\]
级数收敛的范围是\(0\leq |x| < + \infty\)，同样定义：
\[e^\mathbf{A}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n}{n!}=1+\mathbf{A}+\frac{\mathbf{A}^2}{2!}+\frac{\mathbf{A}^3}{3!}+ \cdots
\]
式子右边能够成立的条件是\(\mathbf{A}\)是一个方阵，我们需要证明这个级数的收敛性。
2 证明收敛性
定义矩阵极限收敛等价于：
\[\lim \mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
\lim a_{11} & \lim a_{12} & \cdots & \lim a_{1n} \\
\lim a_{21} & \lim a_{22} & \cdots & \lim a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lim a_{n1} & \lim a_{n2} & \cdots & \lim a_{nn} \\
\end{bmatrix}
\]
因此记矩阵\(\mathbf{A}^k\)的元素为记号\(a_{ij}^{(k)}\)，矩阵级数的每项就变成标量级数\(\sum_{k=0}^\infty a_{ij}^{(k)}\)，矩阵级数收敛就等价于每一项元素的标量级数都收敛。
需要特别注意，这里\(a_{ij}^{(k)}\neq a_{ij}^k\)，因为矩阵乘法并不是各个元素自己乘以自己，但是仍然构成以下标\(k\)组成的数列\(\{a_{ij}^{(k)}\}\)，他们的和是标量级数。
如果矩阵\(\mathbf{A}\)是有限大小的矩阵，那么一定有元素\(M=\max{|a_{ij}|}\)使得：
\[M\geq|a_{ij}|,\forall a_{ij} \in \mathbf{A}
\]
于是：
\[\left\| A \right\|_F \leq nM
\]
\[\left\| \sum_{k=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^k}{k!} \right\| _F
\leq \sum_{k=0}^\infty \left\| \frac{\mathbf{A}^k}{k!} \right\| _F
\leq \sum_{k=0}^\infty \frac{\left\|\mathbf{A}\right\| _F^k}{k!}
\leq \sum_{k=0}^\infty \frac{(nM)^k}{k!}
=e^{nM}\]
所以矩阵级数的\(Frobenius\)范数收敛，根据定义：
\[\left\| \mathbf{A}^k \right\|_F=\sqrt{\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n \left\lvert a_{ij}^{(k)} \right\rvert^2} \geq \left\lvert a_{ij}^{(k)} \right\rvert
\]
所以由比较审敛法：
\[\sum_{k=0}^\infty \frac{\left\lvert a_{ij}^{(k)} \right\rvert}{k!}
\leq \sum_{k=0}^\infty \frac{\left\|\mathbf{A}^k\right\| _F}{k!}
= \sum_{k=0}^\infty \left\| \frac{\mathbf{A}^k}{k!} \right\| _F\]
元素级数也收敛。这就证明了指数矩阵定义是良性的：
\[e^\mathbf{A}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n}{n!}=1+\mathbf{A}+\frac{\mathbf{A}^2}{2!}+\frac{\mathbf{A}^3}{3!}+ \cdots
\]
右侧收敛于所有有限方阵\(\mathbf{A}\)。
3 指数矩阵基本性质
3.1 零元
\[e^\mathbf{O}=\mathbf{I},\mathbf{I}=
\begin{bmatrix}
1 & & & \\
&1 & & \\
&& \ddots & \\
& & &1 \\
\end{bmatrix}
\mathbf{O}=
\begin{bmatrix}
0 &0 &\cdots & 0\\
0 &0 &\cdots & 0\\
\vdots &\vdots& \ddots &\vdots \\
0& 0& \cdots&0 \\
\end{bmatrix}\]
证：只需要带入到级数定义式中就有：
\[e^\mathbf{O}=\mathbf{I}+\mathbf{O}+\frac{\mathbf{O}^2}{2!}+\cdots =\mathbf{I}
\]
3.2 运算
对所有可交换的方阵\(\mathbf{A},\mathbf{B}\)有：
\[e^{\mathbf{A}+\mathbf{B}}=e^\mathbf{A}e^\mathbf{B}=e^\mathbf{B}e^\mathbf{A}=e^{\mathbf{B}+\mathbf{A}},\forall \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}
\]
证：带入级数定义：
\[\begin{aligned}
e^{\mathbf{A}+\mathbf{B}}&=\sum_{k=0}^\infty \frac{(\mathbf{A}+\mathbf{B})^k}{k!} \\
&=\sum_{k=0}^\infty \sum_{s=0}^k\binom{k}{s}\frac{\mathbf{A}^s\mathbf{B}^{k-s}}{k!} \\
&=\sum_{k=0}^\infty \sum_{s=0}^k \frac{k!}{s!(k-s)!} \frac{\mathbf{A}^s\mathbf{B}^{k-s}}{k!} \\
&=\sum_{k=0}^\infty \sum_{s=0}^k \frac{\mathbf{A}^s\mathbf{B}^{k-s}}{s!(k-s)!}\\
&=\sum_{0 \leq s \leq k < \infty} \frac{\mathbf{A}^s\mathbf{B}^{k-s}}{s!(k-s)!}\\
&=\sum_{s=0}^\infty \sum_{k=s}^\infty \frac{\mathbf{A}^s\mathbf{B}^{k-s}}{s!(k-s)!}\\
&=\sum_{s=0}^\infty \sum_{k-s=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^s\mathbf{B}^{k-s}}{s!(k-s)!}\\
&=\sum_{s=0}^\infty \sum_{p=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^s\mathbf{B}^{p}}{s!p!}\\
&=\sum_{s=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^s}{s!} \sum_{p=0}^\infty \frac{\mathbf{B}^{p}}{p!}\\
&=\left( \sum_{s=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^s}{s!} \right) \left(\sum_{p=0}^\infty \frac{\mathbf{B}^{p}}{p!}\right)\\
&=e^\mathbf{A}e^\mathbf{B}
\end{aligned}
\]
同样有：
\[e^{\mathbf{A}+\mathbf{B}}=e^\mathbf{B}e^\mathbf{A}=e^{\mathbf{B}+\mathbf{A}}
\]
3.3 单元微分
\[\frac{d}{dt}e^{\mathbf{A}t}=\mathbf{A}e^{\mathbf{A}t}=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A}
\]
证：只需定义：
\[\frac{d}{dt}\mathbf{A}(t)=
\begin{bmatrix}
\frac{d}{dt}a_{11}(t)&\frac{d}{dt}a_{12}(t)&\cdots&\frac{d}{dt}a_{1n}(t) \\
\frac{d}{dt}a_{21}(t)&\frac{d}{dt}a_{22}(t)&\cdots&\frac{d}{dt}a_{2n}(t) \\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\
\frac{d}{dt}a_{n1}(t)&\frac{d}{dt}a_{n2}(t)&\cdots&\frac{d}{dt}a_{nn}(t) \\
\end{bmatrix}
\]
就有：
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dt}(\mathbf{A}t)&=
\begin{bmatrix}
\frac{d}{dt}a_{11}t&\frac{d}{dt}a_{12}t&\cdots&\frac{d}{dt}a_{1n}t \\
\frac{d}{dt}a_{21}t&\frac{d}{dt}a_{22}t&\cdots&\frac{d}{dt}a_{2n}t \\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\
\frac{d}{dt}a_{n1}t&\frac{d}{dt}a_{n2}t&\cdots&\frac{d}{dt}a_{nn}t \\
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\
\end{bmatrix} = \mathbf{A} \\
\frac{d}{dt}&(\mathbf{A}^kt^k)=k\mathbf{A}^kt^{k-1},\forall k \in \mathbb{N}^+
\end{aligned}
\]
所以：
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dt}e^{\mathbf{A}t}&=\frac{d}{dt}(I+\mathbf{A}t+\frac{(\mathbf{A}t)^2}{2!}+\frac{(\mathbf{A}t)^3}{3!}+\cdots) \\
&=\frac{d}{dt}(I+\mathbf{A}t+\frac{\mathbf{A}^2t^2}{2!}+\frac{\mathbf{A}^3t^3}{3!}+\cdots) \\
&=\frac{d}{dt}I+\frac{d}{dt}(\mathbf{A}t)+\frac{d}{dt}(\frac{\mathbf{A}^2t^2}{2!})+\frac{d}{dt}(\frac{\mathbf{A}^3t^3}{3!})+\cdots \\
&=\mathbf{O}+\mathbf{A}+\mathbf{A}^2t+\frac{\mathbf{A}^3t^2}{2!}+\cdots \\
&=\mathbf{A}\left( \mathbf{I}+\mathbf{A}t+\frac{\mathbf{A}^2t^2}{2!}+\cdots \right) \\
&=\mathbf{A}e^{\mathbf{A}t}
\end{aligned}
\]
同样也有 \(\frac{d}{dt}e^{\mathbf{A}t}=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A}\).
3.4 逆元
\[e^{-\mathbf{A}}=\left( e^\mathbf{A} \right) ^ {-1}
\]
证：根据性质3.1和性质3.2有：
\[e^{-\mathbf{A}}e^\mathbf{A}=e^{\mathbf{A}-\mathbf{A}}=e^\mathbf{O}=\mathbf{I}
\]
这就证明了\(e^{-\mathbf{A}}\)和\(e^\mathbf{A}\)互为逆矩阵。
3.5 特征根
如果\(\lambda\)是\(\mathbf{A}\)的特征根，那么\(e^\lambda\)是\(e^\mathbf{A}\)的特征根。
证：假设\(\lambda\)是\(\mathbf{A}\)的特征根：
\[\begin{aligned}
\mathbf{A}\mathbf{\xi}&=\lambda \mathbf{\xi} \\
\mathbf{A}^2\mathbf{\xi}&=\mathbf{A}(\lambda\mathbf{\xi})=\lambda(\mathbf{A}\mathbf{\xi})=\lambda^2 \mathbf{\xi} \\
&\vdots \\
\mathbf{A}^k\mathbf{\xi}&=\lambda^k \mathbf{\xi} \\
\end{aligned}
\]
那么\(\lambda\)是\(e^\mathbf{A}\)的特征根：
\[e^\mathbf{A}\mathbf{\xi}=\left( \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} \right)\mathbf{\xi}= \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k\mathbf{\xi} }{k!} \right)=\left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\mathbf{\xi} }{k!} \right)=\left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k }{k!} \right)\mathbf{\xi}=e^\lambda \mathbf{\xi}
\]
3.6 秩
\(e^\mathbf{A}\)总是满秩的。
证：由性质3.5可知，若\(\lambda\)是\(\mathbf{A}\)的特征根，则\(e^\lambda\)是\(e^\mathbf{A}\)的特征根。由于指数函数恒有\(e^\lambda \neq 0\)，所以\(e^\mathbf{A}\)没有零特征值。因此\(\det(e^\mathbf{A}) = e^{\text{tr}(\mathbf{A})} \neq 0\)，这就证明了\(e^\mathbf{A}\)满秩。
3.7 奇异性
\(e^\mathbf{A}\)总是非奇异的（即总是可逆的）。
证：由性质3.6显然得知，因为满秩矩阵等价于非奇异矩阵。这就证明了\(e^\mathbf{A}\)总是非奇异的。
3.8 相似对角化
若矩阵\(\mathbf{A}\)可以相似对角化：
\[\mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}
\]
那么矩阵\(e^\mathbf{A}\)也可以相似对角化：
\[e^\mathbf{A} = \mathbf{P}e^\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}
\]
这里：
\[e^\mathbf{\Lambda}=e^{diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)}=
\begin{bmatrix}
e^{\lambda_1}&&& \\
&e^{\lambda_2}&& \\
&&\ddots& \\
&&&e^{\lambda_n}
\end{bmatrix}
\]
证：由级数定义是显然的，这里不再写了。
4 方程的解
4.1 齐次方程的解
针对前文齐次方程：
\[\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x},\mathbf{x}(0)=\mathbf{x_0}
\]
至少存在一个解：
\[\mathbf{x}=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x_0}
\]
他既满足初值也满足方程。关于齐次方程解的唯一性证明我不可给出，比较麻烦。
4.2 原方程的解
针对前文原方程：
\[\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u},\mathbf{x}(0)=\mathbf{x_0}
\]
只需要变换：
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\left( e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{x} \right)&=e^{-\mathbf{A}t}\dot{\mathbf{x}}-\mathbf{A}e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{x}\\
&=e^{-\mathbf{A}t}\dot{\mathbf{x}}-e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{A}\mathbf{x}\\
&=e^{-\mathbf{A}t}\left(\dot{\mathbf{x}}-\mathbf{A}\mathbf{x}\right)\\
\end{aligned}
\]
而且性质3.7已经知道了\(e^{-\mathbf{A}t}\)必然可逆，且性质3.4知道了逆矩阵就是\(e^{\mathbf{A}t}\)，所以：
\[\dot{\mathbf{x}}-\mathbf{A}\mathbf{x}=e^{\mathbf{A}t}\frac{d}{dt}\left( e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{x} \right)
\]
代入原方程就是：
\[e^{\mathbf{A}t}\frac{d}{dt}\left( e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{x} \right)=\mathbf{B}\mathbf{u}
\]
于是：
\[\frac{d}{dt}\left( e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{x} \right)=e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{B}\mathbf{u}
\]
所以：
\[\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}\left(\mathbf{x_0}+\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) \, d\tau \right)
\]
可以看到当\(\mathbf{u}=0\)时剩下的这一项正是齐次方程的解，所以解也可以视作以下部分：
\[\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x_0}+e^{\mathbf{A}t}\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) \, d\tau
\]
这里第一项是齐次方程的解，完全由系统本身的结构与初值引起；第二项是非齐次的一个零初始通解，由外部输入\(\mathbf{u}\)引起。
这里的矩阵积分定义类似矩阵求导，也是对每项元素独自积分。
4.3 线性状态模型的解
所以回到最初的问题，完全考虑一个线性的状态空间模型：
\[\left\{
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}} & =\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{y} & =\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
\right.
\]
伴随有初值\(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x_0}\)，那么状态方程有解：
\[\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x_0}+e^{\mathbf{A}t}\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) \, d\tau
\]
观测方程有解：
\[\begin{aligned}
\mathbf{y}&=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\
&=\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} \left(\mathbf{x_0}+\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) \, d\tau \right) +\mathbf{D}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
\]
4.4 特殊的
如果满足条件：
\[\mathbf{A}是可逆的\tag{1}
\]
\[\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}\tag{2}
\]
\[\mathbf{u}对t是可导的\tag{3}
\]
那么积分：
\[\begin{aligned}
\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) \, d\tau
&= -\int_0^t \left(\mathbf{A}\mathbf{B} \, de^{-\mathbf{A}\tau} \mathbf{u}(\tau)\right) \\
&= -\mathbf{A}\mathbf{B}\int_0^t \left( de^{-\mathbf{A}\tau}\mathbf{u}(\tau)\right) \\
&= -\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)e^{-\mathbf{A}\tau}\rvert_0^t + \mathbf{A}\mathbf{B}\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau} \, d\mathbf{u}(\tau) \\
&= \mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{u}(0)-\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{u}(t)e^{-\mathbf{A}t} + \mathbf{A}\mathbf{B}\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau} \, d\mathbf{u}(\tau) \\
\end{aligned}
\]
因此观测方程的解：
\[\begin{aligned}
\mathbf{y}
&=\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} \left(\mathbf{x_0}+\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) \, d\tau \right) +\mathbf{D}\mathbf{u} \\
&=\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} \left(\mathbf{x_0}+\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{u}(0)-\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{u}(t)e^{-\mathbf{A}t} + \mathbf{A}\mathbf{B}\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau} \, d\mathbf{u}(\tau) \right) +\mathbf{D}\mathbf{u} \\
&=\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x_0}+\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{u}(0)-\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{u}(t)e^{-\mathbf{A}t} +
\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} \mathbf{A}\mathbf{B}\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau} \, d\mathbf{u}(\tau)
+ \mathbf{D}\mathbf{u} \\
&=\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x_0}+\left(\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{D}\right)\mathbf{u}(0)-\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{u}(t)e^{-\mathbf{A}t} +
\int_0^t \left(\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} \mathbf{A}\mathbf{B}e^{-\mathbf{A}\tau}+\mathbf{D}\right) \, d\mathbf{u}(\tau) \\
\end{aligned}
\]
可以看到前两项是系数状态初值和外部输入初值在系统结构中的自发响应，后面则分别是外部输入的直接转移作用及其在系统中的响应，后者表现为一个时域积分。
当然这里要求的神秘条件\((1)(2)(3)\)其中条件\((1)\)是系统稳定的必要条件(而非充要，事实上离充要条件相差很远很远)，因为系统稳定则特征根全部落于复平面左半平面上，不存在为\(0\)的特征根，因此状态矩阵\(\mathbf{A}\)必须满秩；条件\((3)\)则要求外部输入连续可导，不能存在冲激、跳跃、无穷震荡、尖点；而条件\((2)\)非常苛刻，且不具有物理意义。
所以4.4这一部分的推导仅仅是我写着玩的，内容不保真。
除此之外的全文所有内容我可以保证在工程的水平上不存在错误，最多仅仅是语言描述不当或者一些符号不小心打错。
5 总结
5.1 指数矩阵（矩阵指数）：
定义：
\[e^\mathbf{A}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n}{n!}=1+\mathbf{A}+\frac{\mathbf{A}^2}{2!}+\frac{\mathbf{A}^3}{3!}+ \cdots
\]
对有限矩阵\(\mathbf{A}\)，这个矩阵级数的\(Frobenius\)范数收敛，且矩阵级数也完全收敛。
性质：
(1) 零元
\[e^\mathbf{O}=\mathbf{I},\mathbf{I}=
\begin{bmatrix}
1 & & & \\
&1 & & \\
&& \ddots & \\
& & &1 \\
\end{bmatrix}
\mathbf{O}=
\begin{bmatrix}
0 &0 &\cdots & 0\\
0 &0 &\cdots & 0\\
\vdots &\vdots& \ddots &\vdots \\
0& 0& \cdots&0 \\
\end{bmatrix}\]
(2) 运算
对所有可交换的方阵\(\mathbf{A},\mathbf{B}\)有：
\[e^{\mathbf{A}+\mathbf{B}}=e^\mathbf{A}e^\mathbf{B}=e^\mathbf{B}e^\mathbf{A}=e^{\mathbf{B}+\mathbf{A}},\forall \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}
\]
(3) 单元微分
\[\frac{d}{dt}e^{\mathbf{A}t}=\mathbf{A}e^{\mathbf{A}t}=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A}
\]
(4) 逆元
\[e^{-\mathbf{A}}=\left( e^\mathbf{A} \right) ^ {-1}
\]
(5) 特征根
如果\(\lambda\)是\(\mathbf{A}\)的特征根，那么\(e^\lambda\)是\(e^\mathbf{A}\)的特征根。
(6) 秩
\(e^\mathbf{A}\)总是满秩的。
(7) 奇异性
\(e^\mathbf{A}\)总是非奇异的（即总是可逆的）。
(8) 相似对角化
若矩阵\(\mathbf{A}\)可以相似对角化：
\[\mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}
\]
那么矩阵\(e^\mathbf{A}\)也可以相似对角化：
\[e^\mathbf{A} = \mathbf{P}e^\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}
\]
这里：
\[e^\mathbf{\Lambda}=e^{diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)}=
\begin{bmatrix}
e^{\lambda_1}&&& \\
&e^{\lambda_2}&& \\
&&\ddots& \\
&&&e^{\lambda_n}
\end{bmatrix}
\]
5.2状态方程的解
(1)齐次方程：
\[\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u},\mathbf{x}(0)=\mathbf{x_0}
\]
的解是：
\[\mathbf{x}=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x_0}
\]
(2)非齐次方程：
\[\left\{
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}} & =\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{y} & =\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
\right.
\]
伴随有初值\(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x_0}\)，那么状态方程有解：
\[\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x_0}+e^{\mathbf{A}t}\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) \, d\tau
\]
观测方程有解：
\[\begin{aligned}
\mathbf{y}&=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u} \\
&=\mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} \left(\mathbf{x_0}+\int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) \, d\tau \right) +\mathbf{D}\mathbf{u} \\
\end{aligned}
\]
以上就是本文全部的内容。
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