随便写写证明一个实数列有界

随便写写，证明数列\(a_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n,n\in N^+\)是有界的。

证：这里\(n\in N^+\)，利用二项式展开公式展开：

\[a_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=\sum _{i=0} ^{n} \binom{n}{i} \left( \frac{1}{n} \right)^{i} \tag{1} \]

其中组合数符号\(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)，有：

\[\begin{aligned} \binom{n}{0}&=\frac{n!}{0!n!}=1 \\ \binom{n}{1}&=\frac{n!}{1!(n-1)!}=n \\ \binom{n}{2}&=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2!} \\ \binom{n}{3}&=\frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \\ &\vdots \\ \binom{n}{n}&=\frac{n!}{n!0!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{n!} \\ \end{aligned} \]

所以代回\((1)\)式：

\[\begin{aligned} a_n=&\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \\ =& 1+n\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+\\ &\cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{n!}\left(\frac{1}{n}\right)^n\\ \\ \leq& 1+n\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{n\cdot n}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{n\cdot n\cdot n}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+\\ &\cdots + \frac{n\cdot n\cdot n\cdots n}{n!}\left(\frac{1}{n}\right)^n\\ \\ =&1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!} \\ \leq&1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-3}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-1}} \\ \leq&\left(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-3}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-1}} \right) + \frac{1}{2^{n-1}} \\ =&1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-3}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\left(\frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n-1}} \right) \\ =&1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-3}}+\left(\frac{1}{2^{n-2}} + \frac{1}{2^{n-2}} \right) \\ =&1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n-3}} + \frac{1}{2^{n-3}} \right) \\ =&\cdots \\ =&1+1+\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} \right) \\ =&1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\ =&3 \end{aligned} \]

所以有：

\[0 \leq a_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\leq 3,n\in N^+ \]

因此数列\(a_n\)是有界的.

Q.E.D.