实系数有限阶多项式可分解成若干个不超过二阶实因式乘积
命题描述
任意\(n\)阶多项式都有分解：
\[a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n=a_n(x^2-A_1x+B_1)(x^2-A_2x+B_2)···(x^2-A_mx+B_m)\,\,\cdot\,\,(x-x_{2m+1})···(x-x_{n-1})(x-x_n)
\]
这里\(m\)是多项式复数域内共轭零点对数，式中:
\[a_n \neq 0,\,\,a_i,A_j,B_j,x_k \in \mathbb{R}, \,\,\,\, i=1,2,...,n, \,\, j=1,2,...,m, \,\, k=2m+1,2m+2,...,n-1,n
\]
且如果\(2m \geq n\)，那么没有这些一阶项；如果\(2m \leq n\)，那么存在这些一阶项；如果\(m=0\)，那么没有这些二阶项.
命题证明
此命题可以拆成两个子命题分别证明(这里是简单表述)：
\((1)\,\,\,\,a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n=a_n(x-x_1)(x-x_2)···(x-x_n)\)
\((2)\,\,\,\,a_n(x-x_1)(x-x_2)···(x-x_n)\)可以变成若干个二阶实因式乘积
命题1
\(n\)阶实系数多项式：
\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n,\,\,\,\,a_n \neq 0
\]
构造方程：
\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n=0 \tag{1}
\]
由代数基本定理知此非零多项式方程一定有根\(x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{C}\)，构造：
\[p_n(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)···(x-x_n)
\]
令：
\[g_n(x)=f(x)-p_n(x)=0
\]
因为直接对\(p_n(x)\)展开可以得到最高项为\(a_nx^n\)，而\(f(x)\)最高项也是\(a_nx^n\)，所以\(g_n(x)=0\)是一个最高阶不超过\(n-1\)的多项式方程.
假设\((A)\)如果\(g_n(x)\)是非零多项式，那么根据代数基本定理方程\(g_n(x)=0\)最多有\(n-1\)个解\((B)\).
然而事实上：
\[\begin{aligned}
f(x_1)&=p_n(x_1)=0 \Rightarrow g_n(x_1)=0\\
f(x_2)&=p_n(x_2)=0 \Rightarrow g_n(x_2)=0\\
&...\\
f(x_n)&=p_n(x_n)=0 \Rightarrow g_n(x_2)=0\\
\end{aligned}
\]
所以\(x_1,x_2,...,x_n\)都是\(g_n(x)=0\)的根，所以方程至少有\(n\)个根.
这与结论\((B)\)矛盾！因此假设\((A)\)错误，即\(g_n(x)\)是全零多项式，即：
\[g_n(x)=0
\]
也就是：
\[f(x)=p_n(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)···(x-x_n)
\]
这就证明了命题1.
命题2
我们记，对一个复数\(z=a+ib\)有共轭操作：
\[\bar{z}=a-ib
\]
容易推导出有这几个共轭性质：
\[\begin{aligned}
&(1)\,\,\,\, \forall a \in \mathbb{R}, \bar{a} = a \\
&(2)\,\,\,\, \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C}, \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \\
&(3)\,\,\,\, \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C}, \overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \\
&(4)\,\,\,\, \forall x \in \mathbb{C},n \in \mathbb{N^+}, \overline{x^n}=\overline{x^{n-1} \cdot x}=\overline{x^{n-1}} \cdot \overline{x} = ··· = \overline{x}^n
\end{aligned}
\]
借助这些性质，对方程\((1)\)每侧取共轭可得：
\[\begin{aligned}
\overline{f(x)}&=\overline{a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n}=\overline{0} \\
\overline{f(x)}&=\overline{a_0}+\overline{a_1x}+\overline{a_2x^2}+...+\overline{a_nx^n}=0 \\
\overline{f(x)}&=a_0+\overline{a_1}\,\overline{x}+\overline{a_2}\,\overline{x^2}+...+\overline{a_n}\,\overline{x^n}=0 \\
\overline{f(x)}&=a_0+a_1\overline{x}+a_2\overline{x^2}+...+a_n\overline{x^n}=0 \\
\overline{f(x)}&=a_0+a_1\overline{x}+a_2\overline{x}^2+...+a_n\overline{x}^n=0 \\
\end{aligned}
\]
注意到\(f(\overline{x})=a_0+a_1\overline{x}+a_2\overline{x}^2+...+a_n\overline{x}^2\)，所以这就是：
\[\overline{f(x)}=f(\overline{x})=0 \tag{2}
\]
式\((2)\)的意义是“如果某个复数\(x\in \mathbb{C}\)是方程\(f(x)=0\)的根，那么他的共轭复数\(\overline{x}\)也是方程的根”.
进一步的，当根落在\(x\int \mathbb{R}\)轴上时，他的共轭就是自己\(\overline{x}=x\)；而根要么落在\(x\)轴上，要么落在非\(x\)轴上.
由于前文\(x_1,x_2,...,x_n\)的顺序是任意的，不妨按以下顺序：
\[f(z)=a_n(x-p_1)(x-\overline{p_1})(x-p_2)(x-\overline{q_2})···(x-p_m)(x-\overline{p_m})(x-x_{2m+1})···(x-x_{n-1})(x-x_n) \tag{3}
\]
这里前\(2m\)个根，为\(m\)组落在非\(x\)轴上的共轭复数对\((p_i,\overline{p_i}),i=1,2,...,m\).
\((*)\)剩下的\(n-2m\)个根均落在\(x\)轴上，他们全都是实数\(x_i \in \mathbb{R},i=2m+1,2m+2,...,n-1,n\) .
对于一对共轭复数\((p_i,\overline{p_i})\)，用实部虚部形式描述复数\(z_i=u_i+iv_i,\,\,\,\,u_i,v_i\in \mathbb{R},i=1,2,...,m\)，有：
\[\begin{aligned}
p_i+\overline{p_i}&=(u_i+iv_i)+(u_i-iv_i)=2u_i & \in \mathbb{R}\\
p_i\overline{p_i}&=(u_i+iv_i)(u_i-iv_i)=u_i^2-i^2v_i^2=u_i^2+v_i^2 & \in \mathbb{R}\\
\end{aligned}
\tag{4}
\]
利用公式\((4)\)我们把前\(2m\)个因式对应组合起来：
\[\begin{aligned}
(x-p_1)(x-\overline{p_1})&=x^2-(p_1+\overline{p_1})x+p_1\overline{p_1}=x^2-2u_1x+u_1^2+v_1^2 \\
(x-p_2)(x-\overline{p_2})&=x^2-(p_2+\overline{p_2})x+p_2\overline{p_2}=x^2-2u_2x+u_2^2+v_2^2 \\
&... \\
(x-p_m)(x-\overline{p_m})&=x^2-(p_m+\overline{p_m})x+p_m\overline{p_m}=x^2-2u_mx+u_m^2+v_m^2 \\
\end{aligned}
\]
这里所有系数都是实数；则多项式\((3)\)变为：
\[f(z)=a_n(x^2-2u_1x+u_1^2+v_1^2)(x^2-2u_2x+u_2^2+v_2^2)···(x^2-2u_mx+u_m^2+v_m^2)(x-x_{2m+1})···(x-x_{n-1})(x-x_n) \tag{5}
\]
没变化的因式，他们的系数\(x_{2m+1},x_{2m+2},...,x_{n-1},x_n\)本来就都是实数(这是由\((*)\)直接定义来的).
如果\(2m \geq n\)，那么没有这些一阶项；如果\(2m \leq n\)，那么存在这些一阶项；如果\(m=0\)，那么没有这些二阶项.
如上式\((5)\)已经完成了因式分解：
\[a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n=a_n(x^2-2u_1x+u_1^2+v_1^2)(x^2-2u_2x+u_2^2+v_2^2)···(x^2-2u_mx+u_m^2+v_m^2)(x-x_{2m+1})···(x-x_{n-1})(x-x_n)
\]
这里所有所有系数都是实系数，并且他们每项因式都为一阶或者二阶.因此：
这就证明了实系数有限阶多项式可分解成若干个不超过二阶实因式乘积.
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