为什么线段的豪斯多夫测度在s<1时为无穷大，在s>1时为0？

上一节: 豪斯多夫维数与闵可夫斯基维数：实例解释

上一节给的例子，解释的还是不够细节，放大看其中最简单的一个例子。

这是豪斯多夫维数的一个核心性质，我会通过直观解释和数学分析来说明原因。

直观解释

假设我们有一条长度为1的线段，用长度为δ的小区间来覆盖它。

当s < 1时（例如s = 0.5）：

想象我们用长度为δ的小区间覆盖线段，需要约1/δ个区间。

• 计算s维豪斯多夫测度，我们要计算：\(\sum_{i=1}^{N} |U_i|^s\)
• 每个小区间的贡献为: \(\delta^{0.5}\)
• 总共有约1/δ个区间，所以总和约为: \((1/\delta) \cdot \delta^{0.5} = \delta^{-0.5}\)
• 当δ趋向于0时，\(\delta^{-0.5}\)趋向于无穷大

直观上讲，当s < 1时，区间的"s维体积"(\(\delta^s\))下降得比区间数量(1/δ)增长得慢，导致总测度无限增大。

当s > 1时（例如s = 2）：

• 每个小区间的贡献为: \(\delta^{2}\)
• 总共有约1/δ个区间，所以总和约为: \((1/\delta) \cdot \delta^{2} = \delta^{1}\)
• 当δ趋向于0时，δ也趋向于0

直观上，当s > 1时，区间的"s维体积"(\(\delta^s\))下降得比区间数量(1/δ)增长得快，导致总测度趋向于零。

数学分析

让我们更严格地分析这个问题：

对于长度为1的线段，我们用长度为δ的小区间来覆盖它，最少需要\(N(\delta) = \lceil 1/\delta \rceil\)个区间（向上取整），但为简化可以近似为1/δ。

当我们计算s维豪斯多夫测度\(H^s\)时：

\[H^s_{\delta} = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty} |U_i|^s : \text{线段} \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} U_i, |U_i| < \delta\right\} \]

对于我们的覆盖方式，每个区间|U_i| = δ，总共需要1/δ个区间，所以：

\[H^s_{\delta} \approx \frac{1}{\delta} \cdot \delta^s = \delta^{s-1} \]

现在，豪斯多夫测度定义为δ趋向于0时的极限：

\[H^s = \lim_{\delta \to 0} H^s_{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \delta^{s-1} \]

分析这个极限的行为：

1. 若s < 1：则s-1 < 0，当δ趋向于0时，\(\delta^{s-1}\)趋向于无穷大。
   例如，当s = 0.5时，\(\delta^{0.5-1} = \delta^{-0.5}\)，当δ→0时趋向于∞。

2. 若s > 1：则s-1 > 0，当δ趋向于0时，\(\delta^{s-1}\)趋向于0。
   例如，当s = 2时，\(\delta^{2-1} = \delta^1\)，当δ→0时趋向于0。

3. 若s = 1：则s-1 = 0，当δ趋向于0时，\(\delta^{s-1} = \delta^0 = 1\)。
   这说明线段的1维豪斯多夫测度正好等于1，也就是线段的长度。

临界点性质

这种行为展示了豪斯多夫维数的临界点性质：

• 在s = 豪斯多夫维数时，s维测度是有限非零值
• 在s < 豪斯多夫维数时，s维测度是无穷大
• 在s > 豪斯多夫维数时，s维测度是0

对线段而言，临界点恰好是s = 1，对应于我们直观理解的维数。

函数图像示意

如果我们绘制线段的s维豪斯多夫测度\(H^s\)随s变化的函数图像，会看到：

      H^s
       ^
       |
∞ -----+
       |       
       |       
       |       
       |          
       +------------> s
       0      1      

这种"阶跃"行为是豪斯多夫维数的特征，它是唯一的使得s维测度既不为0也不为∞的值。

这就是为什么我们说线段的豪斯多夫维数是1，因为它恰好是这个临界转变点。