豪斯多夫维数与闵可夫斯基维数：实例解释
上一节:豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数
很多复杂的概念，给一些简单的展开的例子就好理解多了。
简单维数示例
一维对象：线段
假设我们有一条长度为1的线段。
豪斯多夫维数计算：
- 用长度为δ的小区间覆盖这条线段，需要约1/δ个区间
- 1维测度：\(H^1 = 1\)（即线段的长度）
- 对任何s < 1，有\(H^s = \infty\)
- 对任何s > 1，有\(H^s = 0\)
- 因此豪斯多夫维数 = 1
闵可夫斯基维数计算：
- 用边长为ε的小方格覆盖，需要N(ε) = 1/ε个方格
- 维数 = \(\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log(1/\varepsilon)}{\log(1/\varepsilon)} = 1\)
二维对象：正方形
考虑一个边长为1的正方形。
豪斯多夫维数计算：
- 用直径为δ的小圆盘覆盖，需要约1/δ²个圆盘
- 2维测度：\(H^2 = 1\)（即正方形的面积）
- 当s < 2时，\(H^s = \infty\)；当s > 2时，\(H^s = 0\)
- 豪斯多夫维数 = 2
闵可夫斯基维数计算：
- 用边长为ε的小方格覆盖，需要N(ε) = 1/ε²个方格
- 维数 = \(\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log(1/\varepsilon^2)}{\log(1/\varepsilon)} = 2\)
三维对象：立方体
考虑一个边长为1的立方体。
豪斯多夫维数：
- 覆盖需要约1/δ³个小球
- 豪斯多夫维数 = 3
闵可夫斯基维数：
- 覆盖需要N(ε) = 1/ε³个小立方体
- 维数 = \(\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log(1/\varepsilon^3)}{\log(1/\varepsilon)} = 3\)
分数维对象示例
例1：科赫雪花曲线（易于理解的分形）
构造方法：
- 从一条线段开始
- 将线段分成3等份
- 将中间那段替换为一个等边三角形的两边（去掉底边）
- 对每个新产生的线段重复上述步骤
豪斯多夫维数计算：
- 每次迭代，线段数量变为原来的4倍，长度变为原来的1/3
- 根据自相似性，维数 = \(\log 4 / \log 3 \approx 1.2619\)
- 直观理解：比1维线复杂（长度无限），但又不能填充平面（面积为0）
闵可夫斯基维数计算：
- 用边长为ε的网格覆盖，当ε很小时，N(ε) ≈ (1/ε)^1.2619
- 同样得到维数约为1.2619
例2：谢尔宾斯基三角形
构造方法：
- 从一个实心等边三角形开始
- 移除中央的倒三角（将原三角形分为四个相等的小三角形，移除中间一个）
- 对剩余的每个小三角形重复此过程
维数计算：
- 每次迭代，三角形数量变为原来的3倍，边长缩小为原来的1/2
- 维数 = \(\log 3 / \log 2 \approx 1.585\)
- 这表示它"介于"线和面之间，但更接近面
例3：坎托尔集（最简单的分数维示例）
构造方法：
- 从[0,1]区间开始
- 移除中间的1/3（即保留[0,1/3]和[2/3,1]）
- 对剩余的每个区间重复此过程
豪斯多夫维数计算：
- 每次迭代，区间数量变为原来的2倍，长度变为原来的1/3
- 维数 = \(\log 2 / \log 3 \approx 0.631\)
- 小于1维，说明它比线段还"稀疏"（不连续）
闵可夫斯基维数验证：
- 在第n次迭代后，剩余2n个长度为3(-n)的区间
- 用边长为ε = 3(-n)的网格覆盖需要2n个方格
- 维数 = \(\lim_{n \to \infty} \frac{\log(2^n)}{\log(3^n)} = \frac{\log 2}{\log 3} \approx 0.631\)
更复杂但直观的例子
例4：西尔宾斯基地毯
构造方法：
- 从一个正方形开始
- 将它分为3×3的9个相等小正方形
- 移除中心小正方形
- 对剩余的8个小正方形重复此过程
维数计算：
- 每次迭代，正方形数量变为原来的8倍，边长变为原来的1/3
- 维数 = \(\log 8 / \log 3 \approx 1.893\)
- 接近2，但仍小于2，表示它几乎填满平面，但仍有"空洞"
例5：门格海绵（三维分形）
构造方法：
- 从一个立方体开始
- 将它分为3×3×3的27个相等小立方体
- 移除中心和6个面中心的小立方体（共7个）
- 对剩余的20个小立方体重复此过程
维数计算：
- 每次迭代，立方体数量变为原来的20倍，边长变为原来的1/3
- 维数 = \(\log 20 / \log 3 \approx 2.727\)
- 小于3维，说明它不会完全填满空间
实际应用中的维数计算
例6：海岸线维数
英国海岸线的测量：
- 用长度为1km的直尺测量：总长约2800km
- 用长度为500m的直尺测量：总长约3400km
- 用长度为100m的直尺测量：总长约4800km
随着测量尺度减小，测得的长度不断增加，表明海岸线具有分形性质。
闵可夫斯基维数估计：
- 绘制\(\log N(ε)\)与\(\log(1/ε)\)的关系图（其中N(ε)是覆盖所需的尺子数量）
- 英国海岸线的维数约为1.25，介于光滑曲线(1)和面(2)之间
例7：布朗运动轨迹
粒子的布朗运动轨迹：
- 虽然粒子移动是在二维或三维空间中，但轨迹本身具有分形性质
- 理论上，布朗运动轨迹的维数为1.5
- 它比普通曲线"更充满空间"，但又不会形成面
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