一道函数不等式

已知 $x\in \left(0,\dfrac \pi 2\right)$，求证：$\sin {\sqrt x}<\sqrt {\sin x}$．

令 $t=\sqrt x$ ，则 $t\in \left(0,\sqrt {\dfrac \pi 2}\right)$，欲证不等式即$$\sin ^2 t<\sin {t^2}.$$
1°若 $1\leqslant t \leqslant \sqrt{\dfrac \pi 2}$，则 $t^2\geqslant t$，从而$$\sin {t^2} \geqslant \sin t > \sin ^2 t.$$
2°若 $0<t<1$，则$t^2<t$．令 $f(t)=\sin {t^2}-\sin ^2 t$，则$$f'(t)=2t\cos t^2 - 2\sin t \cos t.$$
由于 $t>\sin t$ 且 $\cos t^2>\cos t$，于是 $f'(t)>0$，又 $f(0)=0$，因此原不等式成立．
综合1°2°，原不等式得证．