线性求逆元 P3811 【模板】乘法逆元 题解

题目大意

求 \(1-N\) 的逆元，要求 \(O(n)\)

P3811 【模板】乘法逆元

问题求解

大致的推导是这个样子

我们设

\[p=k\times i +r \]

\[\Rightarrow k\times i+r\equiv0(\bmod p) \]

两边除去\(i^{-1}\times r^{-1}(\bmod p)\)，就变成

\[\Rightarrow k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv0(\bmod p) \]

移项

\[\Rightarrow i^{-1} \equiv -k\times r^{-1} \]

由于 \(p=k\times i +r\) 可知

\[k=p/i,r=p\% i \]

代入

\[\Rightarrow i^{-1} \equiv -p/i\times (p\% i)^{-1} \]

由于\(C++\)中摸的性质，可能会出负数，我们将两边都加上\(p\)

\[\Rightarrow i^{-1} \equiv (p-p/i)\times (p\% i)^{-1} \]

\[\Rightarrow i^{-1} = (p-p/i)\times (p\% i)^{-1}\%p \]

用\(inv[i]\)来代表逆元，所以

\[\Rightarrow inv[i]=(p-p/i)\times inv[p\%i] \%p \]

就可以线性求逆元了

当然如果你觉得上面的东西很难记住，就可以使用下面的方法

地球人都知道怎么推\(n!^{-1}\)

所以

\[n^{-1}=n! \times (n+1)!^{-1} \]

代码实现

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=3e6+5;
int N,a[maxn],p;
LL inv[maxn];
struct IO{
    static const int S=1<<21;
    char buf[S],*p1,*p2;int st[105],Top;
    ~IO(){clear();}
    inline void clear(){fwrite(buf,1,Top,stdout);Top=0;}
    inline void pc(const char c){Top==S&&(clear(),0);buf[Top++]=c;}
    inline char gc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
    inline IO&operator >> (char&x){while(x=gc(),x==' '||x=='\n'||x=='r');return *this;}
    template<typename T>inline IO&operator >> (T&x){
        x=0;bool f=0;char ch=gc();
        while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f^=1;ch=gc();}
        while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=gc();
        f?x=-x:0;return *this;
    }
    inline IO&operator << (const char c){pc(c);return *this;}
    template<typename T>inline IO&operator << (T x){
        if(x<0) pc('-'),x=-x;
        do{st[++st[0]]=x%10,x/=10;}while(x);
        while(st[0]) pc('0'+st[st[0]--]);pc('\n');
		return *this;
    }
}fin,fout;
int main(){
	freopen("P3811.in","r",stdin);
	freopen("P3811.out","w",stdout);
	fin>>N>>p;
	inv[1]=1;fout<<inv[1];
	for(int i=2;i<=N;i++)inv[i]=inv[p%i]*(p-p/i)%p,fout<<inv[i];
	return 0;
}