「算法笔记」霍尔定理

修改于 2023 年不知道哪个月。

2021 年写的霍尔定理入门（已折叠）
一、前置概念

大家都会的东西。下面的图一般指二分图。

  • 匹配：在图论中，一组匹配（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共端点。

    对于一组匹配 \(S\)（\(S\) 是一个边集），属于 \(S\) 的边被称为“匹配边”，匹配边的端点被称为“匹配点”。剩余的边或点被称为“非匹配边”和“非匹配点”。

  • 最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配。

  • 完美匹配：如果一个图的某组匹配中，图中所有的顶点都是匹配点（显然同时也符合最大匹配），那么它就是一个完美匹配。

    完美匹配，就是一组匹配中，左部的一个点恰好匹配到右部一个点，同样地，右部的一个点恰好匹配到左部一个点。

二、霍尔定理

霍尔定理是判断二分图是否存在完美匹配的充要条件。

  • 首先假设 \(|X|\leq |Y|\)（其中 \(X\) 是左部的点数，\(Y\) 是右部的点数）。

    上面的这种说法，意思是，我们能把 \(X\) 中的点全部用完（作为匹配点），\(Y\) 中的点不一定用完（将点数较小的一侧的点都用完）。

    另一种说法是：要求 \(|X|=|Y|\)（点之间一一匹配，所有点都用完）。

    我们可以理解为是两种定义，两种说法哪个对，取决于怎么定义“完美匹配”。但是霍尔定理对它们都适用，所以讨论霍尔定理时，我们采用更一般性的定义。

  • 对于任意 \(X\) 的子集 \(a\)，设 \(b\) 是 \(a\) 能到达的右部点集的并（显然通过 \(a\) 可以唯一确定 \(b\)），都有 \(|a|\leq |b|\)。

必要性是显然的。因为若某一个 \(|a|>|b|\)，\(a\) 中必然有某些点是匹配不了的（即完成不了把 \(a\) 中的点用完这个要求）。充分性不太好证，可以不用管，而且这个定理看起来就很对 QwQ。

举个栗子：LOJ 6062. 「2017 山东一轮集训 Day2」Pair（题解被吃了）。

最后，感谢 Dls 的指导，Dlstxdy！

补：霍尔定理的推论是，设 \(mx\) 为 \(a\) 与其对应 \(b\) 中 \(|a|-|b|\) 的最大值，二分图的最大匹配为 \(|X|-mx\)（ARC076F）。

一、霍尔定理

  1. 霍尔定理：设二分图 \(G\) 的两部分分别为 \(X,Y\) 且 \(|X|\leq |Y|\)，记 \(N(x)\) 表示与 \(x\) 相邻的点集，则存在一个大小为 \(|X|\) 的匹配当且仅当 \(\forall S\subseteq X,|S|\leq |\bigcup\limits_{x\in S}N(x)|\)。

    证明：必要性显然。充分性反证，考虑选左侧一个非匹配点出发尝试增广，设访问到了左部点集合 \(L\)、右部点集合 \(R\)，一定有 \(\bigcup\limits_{x\in L}N(x)=R\) 且 \(|L|=|R|+1\)（因为无法成功增广），与 \(|L|\leq |\bigcup\limits_{x\in L}N(x)|\) 矛盾。

    • 贪心转化：有时可以反向考虑，固定 \(T=\bigcup\limits_{x\in S}N(x)\) 考虑左部连向它的 \(S\) 的最大 \(|S|\)。显然所有 \(N(x)\subseteq T\) 的 \(x\) 都会选入 \(S\)。把 \(|T|\) 算大没关系。

    • \(a\in X\) 能匹配哪些 \(b\in Y\)，使得删掉 \(a,b\) 之后仍存在完美匹配？

      首先没删掉之前需要有完美匹配，\(\forall T\subseteq Y\)，\(\sum_{x\in X}[N(x)\subseteq T]\leq |T|\)。删掉之后，需要 \(\forall T\subseteq Y\)，\(\sum_{x\in X}[N(x)\subseteq T]-[N(a)\subseteq T]\leq |T|-[b\in T]\)。

      考虑什么时候 \(a,b\) 不合法（原本都 \(\leq\)，删掉后出现了 \(>\)）：\(\exists T\subseteq Y\)，\(\sum_{x\in X}[N(x)\subseteq T]=|T|\) 且 \(N(a)\nsubseteq T,b\in T\)。等价于，\(\exists T\subseteq Y\land b\in T\) ，\(\sum_{x\in X\land x\neq a}[N(x)\subseteq T]=|T|\)。

      考虑维护 \(|T|-\sum_{x\in X\land x\neq a}[N(x)\subseteq T]\)（它一定 \(\geq 0\)，要维护 \(=0\) 的位置只要维护区间最小值以及最小值的出现位置即可）。对于每个这个值为 \(0\) 的 \(T\)，将 \(b\in T\) 设为不合法。

      • 某道题：所有 \(N(x)\) 和需要枚举的 \(T\) 在 \(Y\) 一定构成连续的区间。那么可以扫描线 + 线段树。

        设 \(N(x)=[l_x,r_x]\)。扫描线 \(R\)，维护 \(seg_L=(R-L+1)-\sum_{x\in X\land x\neq a}[[l_x,r_x]\subseteq[L,R]]\)。扫到 \(R\) 时，先全局 \(+1\)，再取出 \(r_x=R\)，将 \(L\in [1,l_x]\) 的 \(seg_L\) 都 \(-1\)。若最小值为 \(0\)，设第一个 \(0\) 的位置是 \(pos\)，将 \(b\in[pos,R]\) 设为不合法。

    • 有时推不出来可以交换 \(X,Y\) 再试试。

  2. 点带权：若左部点 \(i\) 可匹配 \(a_i\) 个右部点（可重复）、右部点 \(i\) 可匹配 \(b_i\) 个左部点（可重复），\(suma(X)\leq sumb(Y)\)，则存在一个大小为 \(suma(X)\) 的匹配当且仅当 \(\forall S\subseteq X,suma(S)\leq sumb(\bigcup\limits_{x\in S}N(x))\)。

    证明：将左部 \(1\) 个点权为 \(v\)、连向 \(N(x)\) 的点 \(x\)，拆成 \(v\) 个点权为 \(1\)、连向 \(N(x)\) 个点，然后尝试增广时看作右部一个点可以走 \(b_i\) 次。

    • 一个有点类似的 Gale-Ryser 定理：

      “存在一个二分图，左部点度数分别是 \(a_{1\sim n}\)、右部点度数分别是 \(b_{1\sim m}\)（保证 \(\sum a_i=\sum b_i\)。不能有重边）“ \(\Leftrightarrow\) ”将 \(a,b\) 分别 从大到小 排序得到 \(a',b'\)，\(\forall k\in[1,n]\)，\(\sum_{i=1}^k a_i\leq \sum_{i=1}^m\min(b_i,k)\)（把 \(a,b\) 互换也一样，\(\forall k\in[1,m]\)，\(\sum_{i=1}^k b_i\leq \sum_{i=1}^n\min(a_i,k)\)）“。

      证明：建二分图 \((S\to i,a_i),(j\to T,b_j),(i\to j,1)\)，限制最大流 \(=\sum a_i\)。转化为最小割，设与 \(S\) 连通的是 \(i_S\cup j_S\)，与 \(T\) 连通的是 \(i_T\cup j_T\)，cost 为 \(\sum_{i\in i_T}a_i+\sum_{j\in j_S}b_j+|i_S|\cdot |j_T|\)。固定 \(k=|i_S|\)，\(i_T\) 肯定选 \(a\) 最小的 \(n-k\) 个，而右部点 \(j\) 如果归入 \(j_S\) 有 \(b_j\) 的贡献、归入 \(j_T\) 有 \(k\) 的贡献，所以肯定选 \(\min(b_j,k)\)。所以最小割为，\(\min_k\{\sum_{i=k+1}^n a_i+\sum_{j=1}^m \min(b_j,k)\}\)，需要 \(\geq \sum a_i\)。所以 \(\forall k,\sum_{i=1}^k a_i\leq \sum_{j=1}^m \min(b_j,k)\)。

      情形：有一个大小为 \(n\) 的可重集（\(i\) 的出现次数为 \(a_i\)），问能否将其划分为 \(m\) 个不可重集（设大小分别为 \(b_{1\sim m}\)）。合法当且仅当 \(\forall k,\sum_{i=1}^k a_i\leq \sum_{i=1}^m \min(b_i,k)\)，也当且仅当 \(\forall k,\sum_{i=1}^k b_i\leq \sum_{i=1}^n\min(a_i,k)\)。我们用 DP 对 \(a\) 或 \(b\) 按从大到小的顺序进行规划，每个前缀和都需要满足一个上限。

      （CF1740F Conditional Mix）

  3. 推论：若一张无向图每个点度数均为 \(k\)，则称其为 \(k\) 正则图。那么 \(|X|=|Y|\) 的 \(k\) 正则二分图必有完美匹配（\(k\geq 1\)）。

    证明：因为 \(|S|\times k\) \(\leq\) \(\bigcup\limits_{x\in S}N(x)\) 的度数和（\(S\) 每个点都有 \(k\) 条边连向 \(\bigcup\limits_{x\in S}N(x)\)）\(=|\bigcup\limits_{x\in S}N(x)|\times k\) 。

  4. \(k\) 正则二分图一定能拆成 \(k\) 个完美匹配。

    证明：由于霍尔定理一定存在完美匹配，删掉之后是 \(k-1\) 正则二分图，所以一定能拆。

  5. 推广：二分图的最大匹配为 \(|X|-\max\limits_{S\subseteq X}(|S|-|\bigcup\limits_{x\in S}N(x)|)\)。它也等于 \(\min\limits_{S\subseteq X}(|X|-|S|+|\bigcup\limits_{x\in S}N(x)|)\)。

    证明：显然最大匹配不会大于这个数。其次，若最大匹配小于这个数，记 \(k=\max\limits_{S\subseteq X}(|S|-|\bigcup\limits_{x\in S}N(x)|)\)，说明左部非匹配点数 \(>k\)，类似霍尔定理的证明，从左部所有非匹配点（设有 \(s\) 个）出发尝试增广，一定有 \(\bigcup\limits_{x\in L}N(x)=R\) 且 \(|L|=|R|+s\)，与 \(s=|L|-|\bigcup\limits_{x\in L}N(x)|>k\) 矛盾。

posted @ 2021-03-05 18:16  maoyiting  阅读(1534)  评论(0)    收藏  举报