「算法笔记」后缀树
一、后缀树
前置知识：字典树（Trie）。
后缀树：所有后缀 \(S[i\sim n]\,(1\leq i\leq n)\) 组成的 Trie 树。
本质不同的子串个数可以达到 \(\mathcal{O}(n^2)\) 级别，故节点数为 \(\mathcal{O}(n^2)\)，与枚举原串的每个子串等价。
叶子节点只有不超过 \(\mathcal{O}(n)\) 个，因此大部分节点都有且仅有一个孩子。
（每分叉一次就会多一个叶子节点。一开始根节点算一个叶子节点，最后有不超过 \(n\) 个叶子节点，也就是多了不超过 \(n-1\) 个叶子节点。所以分叉的点数一定小于等于 \(n-1\)。那么其他的节点都是不分叉的，因此大部分节点都有且仅有一个孩子。）
大部分节点都 只有一个孩子，考虑合并这样的链信息。即我们可以 缩掉仅有一个孩子的节点。就像这样：
这样新的树中的节点数就变成 \(\mathcal{O}(n)\) 的了。
所以后缀树是所有后缀组成的，经过 信息压缩 后的 Trie 树。
二、虚树
1. 定义
对于树 \(T=(V,E)\)，给定关键点 \(S⊆V\)，则可以定义 虚树 \(T'=(V',E')\)。
-
对于节点集合 \(V'⊆V\) ，使得 \(u\in V'\) 当且仅当 \(u\in S\)，或者 \(∃x,y\in S\)，使得 \(\text{LCA}(x,y)=u\)。（即 \(u\in V'\) 当且仅当 \(u\) 为关键点或关键点的 \(\text{LCA}\)）
-
对于边集 \(E'\)，\((u,v)\in E'\)，当且仅当 \(u,v∈V'\)，且 \(u\) 是 \(v\) 在 \(V'\) 中深度最浅的祖先。
与之前所说的联系：假如把所有叶子节点当做关键点的话，任意两个叶子节点的 \(\text{LCA}\) 一定是分叉点，那么 \(V'\) 就是所有的叶子节点以及分叉点组成的集合。
而 \(E'\) 其实就是把不分叉的链缩成一条边后的边集（即 \(E'\) 中的一条边对应着一条没有子树的链）。这与我们之前说的「缩掉仅有一个孩子的节点」对应。
2. 构建虚树
考虑增量法，每次向虚树中增加一个关键点。
按 DFS 序依次加入 \(u\in S\)，栈维护 右链（栈中相邻的两个节点在虚树上也是相邻的，并且栈中节点 DFS 序单调递增）。
每加入一个关键点 \(u\)，设上一个关键点为 \(v\)，令 \(\text{LCA}(u,v)=w\)，将栈顶 \(dep_x>dep_w\) 的弹栈，加入 \(w,u\) 即为新的右链。
（若栈顶存在 \(dep_x=dep_w\)，则不加入 \(w\)。）
在此过程中维护每个点的父节点，最终连边即可得到 \(E′\)。
设 \(n=|S|\)。时间复杂度：\(\mathcal{O}(n\log n)\)。
三、SA 构建后缀树
后缀数组 + 虚树。
虚树的角度：
-
按字典序 DFS，则节点排序相当于对后缀进行排序，亦即后缀数组。
-
求出后缀数组后，即可用单调栈维护右链了。
-
\(\text{LCA}\) 对应了两个节点的 \(\text{LCP}\)，因此可以 RMQ。
时间复杂度：\(\mathcal{O}(n\log n)\)。
（不会 SAM 就可以用 SA+虚树 的方法啦）
四、SAM 构建后缀树
我们同样可以使用 后缀自动机 来构建后缀树：
定理：后缀自动机的 parent 树为反串后缀树。
正串的 SAM 维护的是原字符串所有前缀的后缀（可以考虑 SAM 增量法的构造过程）。那么同理，反串的 SAM，维护的就是所有后缀的前缀，可以得到所有后缀构成的 Trie，即后缀树。
建出反串的 SAM 之后，就会直接得到后缀树。
时间复杂度： \(\mathcal{O}(n|\sum|)\) 或 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。
五、Ukkonen 算法
Ukkonen 算法可以 \(\mathcal{O}(n)\) 构建后缀树。
（反正我不会 QAQ，可以康 这里）
