矩阵之间的关系简单整理

• 等价：可以通过初等变换互相转化的矩阵。当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。
• 相似：\(P^{-1}AP=B\)。本质是基坐标转换，表示在不同坐标系下效果相同的线性变换过程。P为基坐标转换矩阵，是新基向量按列排列形成的矩阵。
  • 重要性质（原理）：
    1. A与B相似，则A与B有相同的特征值（亦有相同的迹与行列式）
    2. \(A^{m} 与 B^{m}\)也相似
    3. A与B秩相同
  • 我们更关心：A是否可以与对角阵$\Lambda $相似（即仅进行缩放的变换，所以对角线上的元素即为特征值）。判断标准：A有n个线性无关的特征向量）。
  • 扩展判断方式：
    1. 有n个不同的特征值，或：
    2. 每个重根的线性无关的特征向量数等于该特征值的重数。
• 正交矩阵：\(A^{T}A=E\)
  • 性质一：\(\left|A^{T} \right|\left|A \right|\) =1 , \(\left|A \right|\) =1或-1
  • 性质二：\(A^{-1} =A^{T}\)，且两者皆正交
  • 性质三：A、B都正交，AB也是正交矩阵
• 正交相似：存在正交矩阵P（不仅仅是可逆），使得\(P^{-1}AP=B\)。
• 实对称矩阵：一定能对角化，不同特征值对应的特征向量一定正交（不仅仅是线性无关）。