mango09 の 世界

摘要： Oh \(\text{XSY}\) ~ Come Here ~ Come and Play ~ Play with \(\text{mango}\) ~ 作为 \(\text{CSP}2021\) 爆炸者，\(\text{NOIP}2021\) 算是让我重拾信心。 然而现在连自测都没测 好了接下来小 阅读全文

摘要： 给定 \(n,m,p\)，其中 \(n,m\) 较大，\(p\) 为质数且不是很大，求 \[ \dbinom{n}{m}\bmod p \] \(\rm Lucas\) 定理 \[ \dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rf 阅读全文

摘要： 二项式定理 \[ (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^k b^{n-k} \] 证明： \((a+b)^n=\begin{matrix}\underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}\\n个(a+b)\end{matrix}\ 阅读全文

摘要： P3232 [HNOI2013]游走 \(\text{Description}\) 给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图。从 \(1\) 号节点出发，每一步以相等的概率 随机 选择当前节点连出去的某条边，经过这条边走到下一个节点，获得等于这条边的编号的分数。到达 \(n\) 号顶 阅读全文

摘要： 给定 \(n\) 元一次方程组 \[ \begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n, 阅读全文

摘要： 前置芝士：\(\rm BSGS\) 当 \(a,b,p\) 均为整数时，请求出方程 \[ a^x\equiv b\pmod p \] 的最小非负整数解. 对于普通的 \(\rm BSGS\)，必须在 \(a,p\) 互质时才能求. 当 \(a,p\) 不互质时，需要用到扩展 \(\rm BSGS\) 阅读全文

摘要： 给定整数 \(a,b,p\) 且 \(a,p\) 互质，请求出高次同余方程 \(a^x\equiv b\pmod p\) 的非负整数解. 首先， \(a^0\equiv 1\pmod p\) 又由欧拉定理知 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p\) 所以出现了周期. 所以 阅读全文

摘要： P2155 [SDOI2008] 沙拉公主的困惑 \(\text{Description}\) 给定 \(t,r\)，有 \(t\) 次询问，每次给定 \(n,m\)，请求出 \([1,n!]\) 中与 \(m!\) 互质的数的数量，答案对 \(r\) 取模. 对于 \(100\%\) 的数据，\( 阅读全文

摘要： 一、逆元的意义 在一道题中，如果既有除法又有取余，那么是不能直接除的： \(\dfrac{a}{b}\bmod p\ne \dfrac{a\bmod p}{b\bmod p}\) 这时候逆元就登场了. 众所周知，\(a\cdot a^{-1}=1\)，类似地定义 \(a\) 在模 \(p\) 意义下 阅读全文

摘要： 对于任意 整数 \(a,b,m\)，若有关于 整数 \(x,y\) 的方程 \(ax+by=m\) 则该方程有解的充要条件为 \(\gcd(a,b)\mid m\). 证明： \(\because \gcd(a,b)\mid a,\gcd(a,b)\mid b\) \(\therefore \gcd 阅读全文