欧拉函数

定义

对于任意正整数 \(n\)，定义欧拉函数 \(\varphi(n)\) 为小于等于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数，即

\[\varphi(n) = \sum _ {i = 1} ^ {n} [n \perp i]. \]

性质

1. 积性：当且仅当正整数 \(a, b\) 满足 \(a \perp b\) 时，有 \(\varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\)。

   此处只证明充分性，即 \(a \perp b \Rightarrow \varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\)。

   证明：设小于等于 \(a\) 且与 \(a\) 互质的正整数为 \(x_1, x_2, \cdots, x_{\varphi(a)}\)，小于等于 \(b\) 且与 \(b\) 互质的正整数为 \(y_1, y_2, \cdots, y_{\varphi(b)}\)，小于等于 \(ab\) 且与 \(ab\) 互质的正整数为 \(z_1, z_2, \cdots, z_{\varphi(ab)}\)。

   对于关于 \(t\) 的同余方程组 \(\begin{cases} t \equiv x_i \pmod a, \\ t \equiv y_j \pmod b, \end{cases}\) 由中国剩余定理知在模 \(ab\) 意义下有且仅有一组解。又因为 \(x_i \perp a, y_j \perp b\)，所以 \(t \perp a, t \perp b\)，\(t \perp ab\)，\(t\) 即是某个 \(z\)。故对于任意 \((x_i, y_j)\) 存在一个 \(z_k\) 与之对应。

   对于 \(z_k\) 满足 \(z_k \perp ab\)，则 \(z_k \perp a, z_k \perp b\)，所以 \(z_k \bmod a \perp a, z_k \bmod b \perp b\)，\(z_k \bmod a\) 即是某个 \(x\)，\(z_k \bmod b\) 即是某个 \(y\)。故对于任意 \(z_k\) 都存在一组 \((x_i, y_j)\) 与之对应。

   综上，对于任意 \((x_i, y_j)\) 存在唯一一个 \(z_k\) 与之对应。所以 \(\varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\)。

2. 反演：\(n = \sum _ {d \mid n} \varphi(d)\)。

   证明：对于任意正整数 \(x\)，定义 \(f(x)\) 为满足 \(\gcd(n, i) = x\) 且 \(i \le n\) 的正整数 \(i\) 的个数，即 \(f(x) = \sum _ {i = 1} ^ n [\gcd(n, i) = x]\)。则有 \(n = \sum _ {i = 1} ^ {n} f(i)\)。

   易证若 \(x \nmid n\) 则有 \(f(x) = 0\)，所以 \(n = \sum _ {d \mid n} f(d)\)。

   \(\gcd(n, i) = x\) 与 \(\frac{n}{x} \perp \frac{i}{x}\) 等价，故 \(f(x) = \varphi(\frac{x}{i})\)。

   所以 \(n = \sum _ {d \mid n} \varphi(\frac{n}{d})\)。注意到 \(n\) 的因数 \(d\) 与 \(\frac{n}{d}\) 具有对称性，因此 \(n = \sum _ {d \mid n} \varphi(d)\)。

3. 对于任意质数 \(p\)，有 \(\varphi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}\)。

   证明：\(1 \sim p ^ k\) 这 \(p ^ k\) 个数中，不与 \(p _ k\) 互质的数只有 \(p\) 的倍数，即 \(p, 2p, 3p, \cdots, p ^ {k - 1} \cdot p\) 共 \(p ^ {k - 1}\) 个。所以 \(\varphi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}\)。

4. 对于正整数 \(x\)，由唯一分解定理，设 \(x = \prod _ {i = 1} ^ s p _ i ^ {k _ i}\)，其中 \(p\) 为质数。则 \(\varphi(x) = x \cdot \prod _ {i = 1} ^ s (1 - \frac{1}{p_i})\)。

   证明：

\[\begin{aligned} \varphi(x) &= \varphi(\prod _ {i = 1} ^ s p _ i ^ {k _ i}) \\ &= \prod _ {i = 1} ^ s \varphi(p _ i ^ {k _ i}) \\ &= \prod _ {i = 1} ^ s p _ i ^ {k _ i} - p ^ {k _ i - 1} \\ &= \prod _ {i = 1} ^ s p _ i ^ {k _ i} \cdot(1 - \frac{1}{p _ i}) \\ &= x \cdot \prod _ {i = 1} ^ s 1 - \frac{1}{p_i} \end{aligned} \]

• 推论：\(\varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) \Rightarrow a \perp b\)。

  显然当 \(a, b\) 有公共质因子时 \(\varphi(ab) > \varphi(a) \cdot \varphi(b)\)。至此我们证明了欧拉函数的积性。

实现

\(O(\sqrt{n})\) 求解 \(\varphi(n)\)

因为 \(\varphi(x) = x \cdot \prod _ {i = 1} ^ s (1 - \frac{1}{p_i})\)，所以我们可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的时间内将 \(n\) 分解质因数，求出 \(\varphi(n)\)。

int phi(int n)
{
    int res = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
        if (n % i == 0) // i 是 n 的质因子
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    if (n != 1)
        res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

\(O(n)\) 求解 \(\varphi(1), \varphi(2), \cdots, \varphi(n)\)​

对于任意 \(i \le n\)，线性筛可以 \(O(n)\) 求出 \(i\) 的最小质因子 \(p_i\)，考察 \(\varphi(i)\) 与 \(p_i\)​ 的关系：

• 若 \(i = p_i\)，即 \(i\) 是质数，则由性质 3 得 \(\varphi(i) = i - 1\)。

• 若 \(p_i \perp \frac{i}{p_i}\)，则由性质 2、3 得 \(\varphi(i) = \varphi(p _ i) \cdot \varphi(\frac{i}{p_i}) = (p _ i - 1) \cdot \varphi(\frac{i}{p_i})\)。

• 若 \(p_i, \frac{i}{p_i}\) 不互质，则 \(\varphi(i) = p _ i \cdot \varphi(\frac{i}{p_i})\)。

  证明：若 \(p_i, \frac{i}{p_i}\) 不互质，则一定有 \(p_i\) 是 \(\frac{i}{p_i}\) 的质因子。

  设 \(i = p ^ k q\)，其中 \(p \perp q\)，则有

  \[\begin{aligned} \varphi(i) &= \varphi(p ^ k q) \\ &= \varphi(p ^ k) \cdot \varphi(q) \\ &= (p ^ k - p ^ {k - 1}) \cdot \varphi(q) \\ &= p \cdot \varphi(p ^ {k - 1}) \cdot \varphi(q) \\ &= p \cdot \varphi(p ^ {k - 1} \cdot q) \\ &= p \cdot \varphi(\frac{i}{p_i}). \end{aligned} \]

所以我们可以在线性筛的基础上求解欧拉函数。

phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
    if (phi[i] == 0)
    {
        p[++p[0]] = i;
        phi[i] = i - 1;
    }
    for (int j = 1; j <= p[0] && i * p[j] <= n; j++)
        if (i % p[j] == 0)
        {
            phi[i * p[j]] = p[j] * phi[i];
            break;
        }
        else
            phi[i * p[j]] = (p[j] - 1) * phi[i];
}