圆锥曲线原创题1

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如图所示，已知一椭圆\(\Gamma:\frac{x^2}{3}+y^2=1\)，在椭圆内部有一点\(A(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)，过点\(A\)做一条直线\(l\)与椭圆\(\Gamma\)交于两点\(B,C\)，过点\(B\)和点\(C\)分别做直线\(l1,l2\)交于椭圆外一点\(P(0,2)\)，并与椭圆交于点\(D,E\)，连接\(DE\)交直线\(l\)于点\(H\)，试证明：点\(H\)的纵坐标为定值。