二分图学习笔记

二分图笔记

定义：

• 二分图 指节点由两个集合组成，且集合内部没有边的图
• 图 \(G\) 的 匹配 是一个边集 \(E\)，且 \(E\) 中所有边没有公共端点
• 图 \(G\) 的 最大匹配 指边数最多的匹配
• 二分图 \(G\) 的 完美匹配 指设二分图两集合为 \(X, Y\)，最大匹配数为 \(min(|X|, |Y|)\)
• Hall 定理：
  • 设二分图 \(G\) 的两个集合为 \(X, Y\)，且 \(|X|\) 较小，则 \(G\) 存在完美匹配的充要条件是对于任意 \(X\) 的子集，设其大小为 \(k\)，则和该子集相连的点 \(Y\) 必须不小于 \(k\) 个
  • 推论：对于较小的集合 \(X\)，二分图最大匹配数为 \(|X|-\max(|X'|-|N(X')|)\)，\(N(u)\) 表示 \(u\) 的邻居节点集合
• 最小点覆盖：选最少的点使得每条边至少有一个端点被选
  • König 定理：二分图中 最小点覆盖等于最大匹配
• 最大独立集：选最多的点使得两两间没有边相连
  • 最大独立集 \(=\) \(n-\)最小点覆盖

性质：

• 二分图没有奇环
• 没有奇环的图是二分图
  • 证明：设路径为 \(a_1 \rightarrow a_2 \rightarrow \cdots \rightarrow a_k\)，存在一条边 \((a_1, a_k)\)，\(a_1\) 与 \(a_k\) 同色；注意到同色点间路径长度必然为偶，则 \(a_1 \rightarrow a_2 \rightarrow \cdots \rightarrow a_k \rightarrow a_1\) 形成一条奇环，矛盾
  • 推论 (二分图判定)：对图进行 dfs 染色，相邻点与当前点异色，若不出现矛盾则为二分图

匈牙利算法：

• 复杂度 \(O(n \times e + m)\)，\(n\) 为左部点个数，\(e\) 为边数，\(m\) 为右部点个数
• 流程：对于每个左部点 \(u\)，枚举其边 \((u, v)\)，若出现冲突则尝试将 \(v\) 的原配 \(u'\) 向其下一条边走匹配，若不冲突则匹配 \((u, v)\)，反之令 \(u\) 失配