字符串下标从 \(1\) 开始。

结论 1：若 \(p,q\) 是字符串 \(s\) 的周期，且 \(p+q\leq |s|+\gcd(p,q)\)，则 \(\gcd(p,q)\) 也是 \(s\) 的周期。（Periodicity Lemma）

证明：

感觉类比成跳跃会好思考一些？首先假设 \(p<q\)。

对于 \(p<i\leq |s|\) 的 \(i\)，先向左跳 \(p\) 再向右跳 \(q\) 即可得到 \(q-p\) 是 \(s[p+1:|s|]\) 的周期。同理可得 \(q-p\) 是 \(s[1:|s|-p]\) 的周期。

所以 \(q-p\) 是 \(s\) 长度为 \(|s|-p\) 的前后缀的周期。

此时变成了另外一个子问题，可以通过归纳证明得 \(\gcd(p,q)\) 是 \(s\) 的长度为 \(|s|-p\) 的前后缀的周期。

因为 \(p<q\)，所以 \(\gcd(p,q)\leq \min(p,\frac {q}{2})\)。

此时若得到 \(2p\leq |s|\)，则可以通过整体移位，即 \(s[1:p]=s[p+1:2p]\) 且 \(\gcd(p,q)\vert p\) 来得证。

因为 \(p+\gcd(p,q)\leq q\)，所以得到 \(p+q\geq 2p+\gcd(p,q)\)。

假设 \(p>\frac {|s|}{2}\)，则有 \(2p+\gcd(p,q)>|s|+\gcd(p,q)\)，与前提 \(p+q\leq |s|+\gcd(p,q)\) 相矛盾，所以得证 \(2p\leq |s|\)。

结论 2：若字符串 \(u,v\) 满足 \(2|u|\geq |v|\)，则 \(u\) 在 \(v\) 中的所有匹配位置形成一个等差数列。

证明：

还不会。。。