摘要：令G=（V,E）是连通的无向图。如果G中的两条路不包含相同的边，那么就称这两条路是无重边的。令O是V中度数为奇数的节点的集合。首先我们可以断言O中有偶数个节点。要证明上述断言，可以把所有节点的度数加起来，这样的到的值恰为边数的二倍，由于度数为奇数的节点都在总和里加了一个奇数，所以一定有偶数个度数为奇数的节点。定理;令G=（V，E）是连通的无向图，O是V中度数为奇数的节点的集合，我们可以把O中的节点分成节点对，对每一对节点都能找到连接它们的与其他路径无重边的路径。 阅读全文

摘要：定理：令G=（V，E）是一个有向图。G中存在一个独立集S（G），使得G中的每一个节点都可以从S（G）中的某一节点通过一条长度不超过2的路到达。归纳假设:对任何节点数小于n的有向图成立。证明过程省略。 阅读全文

摘要：考虑一个连通的平面图，有V个节点，E条边和F个面。（面是一个封闭的区域，图形外部的区域也算作一个面）定理：任意一张连通平面的节点数（V）、边数（E）和面数（F）的关系可以有公式V+F=E+2表示。证明：我们用归纳法的一个变形（双重归纳）来证明这个定理。首先对节点数进行归纳，然后在对面数进行归纳。首先考虑只有一个面的图。这样的图不会含回路；否则，回路至少构成一个面，回路以外构成另一个面。（注：连通无回路的图被称为树。）我们先证明对任意树，V+1=E+2成立。第一个归纳假设：有n个节点的叔有n-1条边。在对面数进行归纳时将上述命题作为归纳基础。主要的归纳假设：有n个免得平面图如果有E条边和V个节点 阅读全文

摘要：平面上n条不同的直线，不一定居一般位置。定理：平面上任意条直线构成的区域可以进使用两种颜色进行着色。证明:使用自然归纳假设。归纳假设：平面上小于n条直线构成的区域可以进使用两种颜色进行着色。当n=1时需要且仅需要用两种颜色进行着色。如果归纳假设成立，那么考虑n条直线时的情况。同样，我们仅需考虑添加了第n条直线后应该如何对原着色方案进行修改。根据区域位于第n条直线的哪一侧，可以把这些区域分成两组，保留一组区域的颜色，反转另组区域的颜色。 阅读全文

摘要：若平面上的直线，任意二线不平行且任意三线不共点，则称这些直线居一般位置。下面计算n条居一般位置的直线能在平面上构成多少个区域。当n=1时，为2；当n=2时，为4；当n=3时，为7......猜测：在平面上n-1条居一般位置的直线添加一条直线后会增加n个区域。证明：我们采用数学归纳法证明的另一种技巧。暂时先把第n条直线移去，此时，根据归纳假设，由于没有第n条直线，因此第（n+1）条直线会增加n个新区域。这样我们只需证明第n条直线的存在使得第（n+1）条直线多增加一个区域。定理：平面上n条居一般位置的直线能把平面分割成n(n+1)/2+1个区域。证明：第n条直线会增加n个区域。第一条直线会构成两个 阅读全文

摘要：1：前n个数的和为n(n+1)/2。2：级数8+13+18+23+...+（3+5n）的和为2.5（n^2）+5.5n。3：若n是自然数，且1+x>0，则（1+x）^n>=1+nx。其证明过程是一样的，归纳基础都是当n=1时，由n推出n+1时成立。 阅读全文