关于矩阵的特征多项式与最小多项式的专题讨论

$\bf命题：$设$g\left( \lambda  \right)$为任意多项式，方阵$A$的最小多项式为$m\left( \lambda  \right)$，则$g(A)$可逆的充要条件是$\left( {g\left( \lambda  \right),m\left( \lambda  \right)} \right) = 1$

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$\bf命题：$设$A,B$分别为$m$阶与$n$阶矩阵，则矩阵方程$AX=XB$只有零解的充要条件是$A,B$无公共特征值

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$\bf命题：$设$A$为$n$阶方阵，则$A$可逆当且仅当存在常数项不为零的多项式$f(\lambda )$，使得$f(A)=0$

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$\bf命题：$设$A \in {M_n}\left( F \right)$，$m\left( \lambda  \right),f\left( \lambda  \right)$分别为$A$的最小多项式与特征多项式，则存在正整数$t$，使得$f\left( \lambda  \right)|{m^t}\left( \lambda  \right)$

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$\bf命题：$$\bf(04浙大二)$设$A \in {P^{n \times n}},f\left( x \right) \in P\left[ x \right],f\left( A \right)$，可逆，证明：存在$g\left( x \right) \in P\left[ x \right]$，使得${\left( {f\left( A \right)} \right)^{ - 1}} = g\left( A \right)$

$\bf命题：$$\bf(06江苏九)$设$n$阶矩阵$A$的特征多项式为$f(\lambda)$，且\[\left( {f\left( \lambda  \right),f'\left( \lambda  \right)} \right) = d\left( \lambda  \right),h\left( \lambda  \right) = f\left( \lambda  \right)/d\left( \lambda  \right)\]证明：$A$相似于对角阵的充要条件是$h(A)=0$

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$\bf命题：$