关于线性方程组理论的专题讨论I

$\bf命题：$${F^n}$的任意子空间$V$都是某个含有$n$个未知量的齐次线性方程组的解空间

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$\bf命题：$设$A$为$s \times n$阶矩阵，${\eta _1},{\eta _2}, \cdots ,{\eta _r}$为齐次线性方程组$AX=0$的一个基础解系，记$B = \left( {{\eta _1},{\eta _2}, \cdots ,{\eta _r}} \right)$，

若$n \times m$矩阵$C$满足$AC=0$，则存在唯一的矩阵$G$，使得$C=BG$

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$\bf(01中科院五)$设${\alpha _i} = {\left( {{a_{i1}},{a_{i2}}, \cdots ,{a_{in}}} \right)^\prime },i = 1,2, \cdots ,m\left( { \leqslant n} \right)$为$n$维欧氏空间中的$m$个向量，又设$P = {\left( {{p_{ij}}} \right)_{1 \leqslant i < j \leqslant n}}$，其中${p_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{a_{jk}}} $，证明：${\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots ,{\alpha _m}$线性无关当且仅当$P$满秩