关于高等代数的计算题I(矩阵，标准形，二次型)

矩阵

$\bf计算：$$\bf(14中山大学一)$设$n$阶实方阵$A$的主对角元为0，其余元为1

(1)求$|A|$及${A^{ - 1}}$   (2)求$A$的特征值，特征向量及最小多项式

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$\bf计算：$设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1 \\ 1&1&1 \\ 1&1&1 \end{array}} \right)$，求矩阵$B$，使得${B^*} = A$

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$\bf计算：$

标准形

$\bf计算：$设$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{n + 1}} = {x_n} + 4{y_n}}\\
{{y_{n + 1}} = 2{x_n} + {y_n}}
\end{array}} \right.$，已知${x_0} = 1,{y_0} = 0$，求${x_{100}},{y_{100}}$

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$\bf计算：$$\bf（06中科院四）$设$a$为实数，$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&1&{}&{}\\{}&a& \ddots &{}\\{}&{}& \ddots &1\\{}&{}&{}&a\end{array}} \right) \in {R^{100 \times 100}}$，求${A^{50}}$第一行元素之和

二次型

$\bf计算：$求实二次型$f(x_1,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{x_j}{n})^2$的矩阵及正负惯性指数 

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$\bf计算：$$\bf(12浙大六)$设二次型$f({x_1}, \cdots ,{x_n}) = \sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {{a_{i1}}{x_1} + {a_{in}}{x_n}} \right)}^2}} $，

(1)求二次型的方阵   (2)当$a_{ij}$均为实数时，给出二次型正定的条件

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$\bf计算：$