关于可交换阵与数量阵的专题讨论

可交换矩阵

$\bf命题：$设$\sigma  \in L\left( {V,n,C} \right)$，${f_\sigma }\left( \lambda  \right)$是$\sigma$的特征多项式，且$\left( {{f_\sigma }\left( \lambda  \right),{{f'}_\sigma }\left( \lambda  \right)} \right) = 1$，则

   (1)$\sigma \tau  = \tau \sigma $当且仅当$\sigma$的特征向量都是$\tau $的特征向量

   (2)$\sigma \tau  = \tau \sigma $当且仅当$\tau $是${\sigma ^0},{\sigma ^1},{\sigma ^2}, \cdots ,{\sigma ^{n - 1}}$的线性组合

   (3)$\sigma \tau  = \tau \sigma $当且仅当存在次数小于$n$的多项式$f(x)$，使得$\tau  = f\left( \sigma  \right)$

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$\bf命题：$设$\sigma ,\tau  \in L\left( {V,n,F} \right)$，且${\sigma ^2} = \sigma $，则$\sigma \tau  = \tau \sigma $当且仅当$Ker\sigma $和$Im\sigma $均为$\tau$的不变子空间

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$\bf命题：$设$A \in {R^{n \times n}}$，已知$A$在${R^{n \times n}}$中的中心化子\[C\left( A \right) = \left\{ {X \in {R^{n \times n}}|AX = XA} \right\}\]是${R^{n \times n}}$的子空间，证明：当$A$为实对称阵时，$\dim C\left( A \right) \geqslant n$，且等号成立当且仅当$A$有$n$个不同的特征值

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$\bf命题：$设$\sigma ,\tau $为$n$维线性空间$V$的线性变换，并且各自有特征向量组成的基，则$\sigma \tau  = \tau \sigma $的充要条件是存在$V$中的一组基，使得每个基向量都是$\sigma$与$\tau$的公共特征向量

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$\bf命题：$设${A_{n \times n}}$的特征多项式与最小多项式相同，则存在$B$，使得$AB=BA$当且仅当存在次数$\leqslant n - 1$的多项式$f(x)$，使得$B=f(A)$

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数量矩阵

$\bf命题：$设$V$为$n$维复线性空间，$M$是$V$上一些线性变换组成的非空集合，已知$M$中的元素没有非平凡的公共不变子空间，且线性变换$\mathcal{B}$满足\[\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A},\forall \mathcal{A} \in M\]证明：必存在复数$\lambda $，使得$\mathcal{B} = \lambda \mathcal{I}$，其中$\mathcal{I}$为恒等变换

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$\bf命题：$设${F^n}$为数域$F$上的$n$维向量空间，且$\sigma :{F^n} \to {F^n}$为线性变换，若对任意的$A \in {M_n}\left( F \right)$，有\[\sigma \left( {A\alpha } \right) = A\sigma \left( \alpha \right),\forall \alpha \in {F^n}\]
证明：存在$\lambda \in F$，使得$\sigma = \lambda \cdot id{F^n}$，其中$id{F^n}$为恒等变换

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$\bf命题：$

 

附录1(可交换阵) 

$\bf命题：$设$A,B \in {M_n}\left( F\right)$，且矩阵$A$各特征值互异，若$AB=BA$，则$A,B$可同时相似对角化

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$\bf命题：$设$A,B \in {M_n}\left( F\right)$，且$A,B$均可对角化，若$AB=BA$，则$A,B$可同时相似对角化

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$\bf命题：$设$A,B$均为$n$阶实对称阵，若$AB = BA$，则存在正交阵$Q$，使得${Q^{ - 1}}AQ,{Q^{ - 1}}BQ$可同时相似对角化

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$\bf命题：$设$A,B \in {M_n}\left( F\right)$，若$AB = BA$，则存在可逆阵$P$，使得${P^{ - 1}}AP,{P^{ - 1}}BP$可同时上三角化

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$\bf命题：$

附录2(数量阵)

$\bf命题：$

 

\begin{conclusion}$A=aE_n$当且仅当对任意的$n$阶矩阵$B$，有$AB=BA$
\end{conclusion}
证明\quad必要性显然，下面证明充分性\\取$B = diag\left( {1,2, \cdots ,n} \right)$，由$AB=BA$知，$A = diag\left( {{a_{11}},{a_{22}}, \cdots ,{a_{nn}}} \right)$；再取$B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{{E_{n - 1}}} \\
1&0
\end{array}} \right)$，则由$AB=BA$知，${a_{11}} = {a_{22}} = \cdots = {a_{nn}}$，即$A=aE_n$
\begin{remark}这里矩阵$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{{E_{n - 1}}} \\
1&0
\end{array}} \right)$称为循环矩阵
\end{remark}
\begin{remark}把这里的矩阵$B$改为任意可逆阵，则结论仍然成立，下面结论可用同样的方法证明
\end{remark}