关于初等变换的专题讨论

$\bf命题：$$\bf(行列式降阶公式)$设$A \in {M_{m \times n}}\left( F \right),B \in {M_{n \times m}}\left( F \right),m \ge n,\lambda \ne 0$，则

\[{\rm{ }}\left| {\lambda {E_m} - AB} \right| = {\lambda ^{m - n}}\left| {\lambda {E_n} - BA} \right|\]

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$\bf命题：$$\bf(09南开六)$设$A,B$为$n$阶复方阵，证明：$AB+A$与$BA+A$有相同的特征值，且每个特征值的重数相同

$\bf命题：$