关于exgcd求解不定方程警示

• 对于式子\(ax + by = c\)，首先规定\(c | gcd(a,b)\) ，我们令\(tmp = gcd(a,b)\)，先解出方程\(ax + by = gcd(a,b)\)的整数解\(x_{0},y_{0}\)，接着可以得到对于原式，我们有\(a\frac{x_{0}c}{gcd(a,b)} + b\frac{y_{0}c}{gcd(a,b)} = c\) ，可以令\(x_{1}=\frac{x_{0}c}{gcd(a,b)}, y_{1} = \frac{y_{0}c}{gcd(a,b)}\)，接着我们考虑\(x_{1}\)和\(y_{1}\)什么时候取得最小值。首先肯定有通解\(x = x_{1} + db,y = y_{1} - da\)，这里让\(d\)为正数（不一定是整数）于是就变成我们要求出最小的\(db\)和\(da\)值，又这两个数必须是正整数，所以很显然\(d\)取\(\frac{1}{gcd(a,b)}\)时这两个值最小，进而可以求出\(x,y\)对应最小正整数值、取值个数等等问题。

• 总结一下求解\(x\)最小正整数解步骤

• 对于式子\(ax + by = c\)先调整符号，\(b\)一般为正整数，此时让$ a=(a mod b + b) mod b,c = (c mod b + b) mod b $（根据同余式子推的，让系数全为正方便计算）

• 用exgcd求出方程\(ax + by = gcd(a,b)\)的解为\(x_{1}\)

• \(x_{1} = \frac{x_{1} * c}{gcd(a,b)}\)，再让\(x_{1}\)最小，即\(d = b / gcd(a,b)\)，令\(x_{1} = (x_{1} mod d + d) mod d\)得到的\(x_{1}\)即为最小解