关于此题[AGC018A] Getting Difference 裴蜀定理的一些总结

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• 题目大意

给定一个序列和\(k\)，每次可以选定序列中两个数，将这两个数的差的绝对值加入序列中，问\(k\)能否出现在序列中

• 思路

问的其实就是\(k\)能否被该序列中这\(n\)个数线性表示，问题是如何实现。

裴蜀定理：对于两个整数\(a\), \(b\) ，存在\(x\),\(y\)使得\(ax+by=gcd(a,b)\)，且\(gcd(a,b)\)为此线性组合能表示的最小值

而此定理推广到n个数同样适用，即：

\(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n} = gcd(a_{1},a_{2},...,a_{n})\)

于是我们就知道，k如果能出现在新序列中，即能被原序列线性表示，那么它一定是\(gcd(a_{1},a_{2},...,a_{n})\)的倍数。

于是问一个数能否被n个数线性表示问题可以在\(O(n)\)时间内解决