映射
映射的定义
设 \(X, Y\) 均为集合，这两个集合的笛卡尔乘积的满足下述两个条件的子集，即 \(f \subseteq X \times Y\)，称作映射：
- （存在性）\(\forall x \in X, \exists y \in Y\) 使得 \((x, y) \in f\)
- （唯一性）若 \((x, y_i) \in f \wedge (x, y_j) \in f\)，则 \(y_i = y_j\)
映射记为 \(f: X \rightarrow Y\)，其中，\(Y\) 集合中的元素 \(y\) 称为 \(X\) 集合中的元素 \(x\) 在 \(f\) 下的象，\(x\) 称为原象
恒等映射的定义
设 \(X\) 为一个集合，\(f: X\rightarrow X\)，若 \(\forall x \in X,\ f(x) = x\) 都成立，则称 \(f\) 是 \(X\) 上的恒等映射，记作 \(I_X\)
映射相等的定义
设 \(X, Y\) 是两个集合，\(f, g: X \rightarrow Y\)，若 \(\forall x \in X\)，都有 \(f(x) = g(x)\)，则称 \(f\) 与 \(g\) 相等
有穷集合间的映射
设 \(X, Y\) 是两个集合，\(\vert X \vert = m, \vert Y \vert = n\)
- 若 \(f: X \rightarrow Y\)， \(f\) 是单射，则 \(m \le n\)
- 若 \(f: X \rightarrow Y\)，\(f\) 是满射，则 \(m \ge n\)
- 若 \(f: X \rightarrow Y\)，\(f\) 是双射，则 \(m = n\)
- 若 \(f: X \rightarrow X\)，则 \(f\) 是单射当且仅当 \(f\) 是满射当且仅当 \(f\) 是双射
抽屉原理
设有 \(n\) 个盒子与 \(n + 1\) 个物体，将 \(n + 1\) 个物体放到 \(n\) 个盒子中，至少有一个盒子放了两个物体
设 \(X, Y\) 是两个集合，\(X = \{ x_1, x_2, \cdots , x_m \}, Y = \{ y_1, y_2, \cdots , y_n \}, n < m\)，则存在 $ x_1, x_2 \in X$ 使得 \(f(x_1) = f(x_2)\)
映射的一般性质
首先引入一些记号，若 \(f : X \rightarrow Y\)：
- 设 \(A \subseteq X\)，我们称 \(f(A) = \{ f(x) \mid x \in A \}\) 为 \(A\) 在 \(f\) 下的象集，即 \(y \in f(A) \Leftrightarrow \exists x \in A, y = f(x)\)
- 设 \(B \subseteq Y\)，我们称 \(f^{-1}(B) = \{ x \mid f(x) \in B \}\) 为 \(B\) 在 \(f\) 下的原象集
关于原象集的定理
设 \(f: X \rightarrow Y, \ A, B \subseteq Y\)，则
- \(f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\)
- \(f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)\)
- \(f^{-1}(C_YA) = C_X(f^{-1}(A))\)
- \(f^{-1}(A \ \verb|\| \ B) = f^{-1}(A) \ \verb|\| \ f^{-1}(B)\)
- \(f^{-1}(A \Delta B) = f^{-1}(A) \Delta f^{-1}(B)\)
证明
(1) 证明 \(f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\)
\(\because \ x \in f^{-1}(A \cap B)\)
\(\therefore \ f(x) \in A \cap B\)
\(\therefore \ f(x) \in A \wedge f(x) \in B\)
\(\therefore \ x \in f^{-1}(A) \wedge x \in f^{-1}(B)\)
\(\therefore \ x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\)
反之易证
(2) 证明 \(f^{-1}(C_YA) = C_X(f^{-1}(A))\)
\(\because \ x \in f^{-1}(C_YA)\)
\(\therefore \ f(x) \in C_YA\)
\(\therefore \ f(x) \in Y \wedge f(x) \notin A\)
\(\therefore \ x \in f^{-1}(Y) \wedge x \notin f^{-1}(A)\)
\(\therefore \ x \in C_X (f^{-1}(A))\)
反之易证
(3) 证明 \(f^{-1}(A \ \verb|\| \ B) = f^{-1}(A) \ \verb|\| \ f^{-1}(B)\)
(4) 证明 \(f^{-1}(A \Delta B) = f^{-1}(A) \Delta f^{-1}(B)\)
关于象集的定理
设 \(f:X \rightarrow Y, \ A, B \subseteq X\)，则
- \(f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\)
- \(f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)\)
- \(f(A \Delta B) \supseteq f(A) \Delta f(B)\)
证明
证明 \(f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)\)
\(\because \ y \in f(A \cap B)\)
\(\therefore \ \exists x \in A \cap B, y = f(x)\)
\(\therefore \ \exists x \in A, y =f(x) \wedge \exists x \in B, y = f(x)\)
\(\therefore \ y \in f(A) \wedge y \in f(B)\)
\(\therefore \ y \in f(A) \cap f(B)\)
映射的合成
定义
设 \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\)，则把 \(f\) 与 \(g\) 的合成定义为 \(h:X \rightarrow Z\)，记作 \(g \circ f\)，即 \(\forall x \in X, h(x) = g(f(x))\)
合成运算的性质
结合律
\(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z, h:Z \rightarrow W\)，则 \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)
【证明】
即证：\(\forall x \in X, h \circ (g \circ f)(x) = (h \circ g) \circ f(x)\)
\(\therefore \ h \circ (g \circ f)(x) = (h \circ g) \circ f(x)\)
单射满射双射的保持
设 \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\)，则
- \(f, g \ are \ injective \Leftrightarrow g \circ f \ is \ injective\)
- \(f, g \ are \ surjective \Leftrightarrow g \circ f \ is \ surjective\)
- \(f, g \ are \ bijective \Rightarrow g \circ f \ is \ bijective\)
- \(g \circ f \ is \ bijective \Rightarrow f \ is \ injective, g \ is \ surjective\)
逆映射
逆映射定义
设 \(f: X \rightarrow Y\)，若 \(\exists g: Y \rightarrow X\) 使得 \(g \circ f = I_X\) 且 \(f \circ g = I_Y\)，则称 \(g\) 为 \(f\) 的逆映射
左逆映射的定义
设 \(f: X \rightarrow Y\)，若存在 \(g : Y \rightarrow X\) 使得 \(g \circ f = I_X\)，则称 \(f\) 是左可逆的，\(g\) 就是其左逆映射。可见映射左可逆的充要条件是该映射为单射
定理
【存在性】
\(f: X \rightarrow Y\) 可逆 \(\Leftrightarrow f\) 是双射
【唯一性】
\(f: X\rightarrow Y\) 且为双射，则 \(f\) 可逆，且其逆唯一，记作 \(f^{-1}\)
【穿脱过程】
设 \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\)，则 \((f^{-1})^{-1} = f, \ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)
浙公网安备 33010602011771号