BEST定理学习笔记

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欧拉图欧拉回路方案数：

\[t^{out}(G,k)\prod_{i}(outdeg_{i}-[i!=k])! \]

证明方法考虑将每一条从 \(k\) 除法的欧拉回路与每个”组合“建立双射，其中”组合”是指一种生成一颗 \(k\) 为根的根向树加上排列其余所有非树边的方案。

• ”组合“ $\to $ 欧拉回路：先按照非树边排列的顺序走非树边，然后再走树边，由于是欧拉图，这样走出来一定是一条欧拉回路
• 欧拉回路 $\to $ “组合“：考虑设 \(e_v\) 为最后到达 \(v\) 后离开 \(v\) 到的点，显然 \(k\) 不会离开，而由于是欧拉图，\(e_v\) 一定是一棵根向树。

所以定理成立。

例题：

P7531 [USACO21OPEN] Routing Schemes P - 洛谷

建一个点 \(n+1\)，指向所有 \(S\)，又被所有 \(R\) 指。那么欧拉回路数为：

\[t^{out}(G,k)\prod_{i=1}^n(outdeg_{i}-1)!s! \]

又由于 \(S\) 指向的边不区分顺序，所以答案为：

\[t^{out}(G,k)\prod_{i=1}^n(outdeg_{i}-1)! \]

注意基尔霍夫矩阵为 \(K=D-A\)，而不是 \(K=A-D\)。