插入最小转移与部分预处理——CF1988F Heartbeat

插入\(1\)转移与部分预处理——CF1988F Heartbeat

首先是个排列，考虑如何转移。

首先发现前缀最大值与后缀最大值分居 \(n\) 两侧而不影响，所以先考虑一边，设 \(f_{i,j,k}\) 表示 \(1\sim i\) 的排列，\(LIS=j\)，有 \(k\) 个上升点的方案数。

一般有两种朴素的转移思路：考虑最后一个位置填什么与考虑 \(n\) 插在哪里。但是会发现，如果考虑最后一个位置难以更新 \(k\)，考虑 \(n\)，则难以更新 \(LIS\)。

这里可以考虑最小的数，即 \(1\) 插在哪里，可以发现他即易于考虑 \(k\)，对 \(LIS\) 的影响又很小。

于是得到方程。

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预处理后有转移：

\[\forall n\in [0,N],ans_n=\sum_{i=1}^{n-1}{n-1\choose i}\sum_{j=0}^i\sum_{k=0}^{n-1-i}c_{j+k+(i>0)}g_{i,j}h_{n-1-i,k} \]

列出每个元素所关联的循环变量：

\[\begin{aligned} S_c=\{i>0,j,k\}\\ S_g= \{j,k\}\\ S_h=\{n,i,k\}\\ S_{n-1\choose i} =\{n,i\} \end{aligned} \]

可以发现 \(S_c\cup S_g\ne U\) 且 \(j\) 仅存在与 \(S_c,S_g\) 中，所以 \(j\) 这一位可以优化掉。