Hall定理学习

Hall定理学习笔记

对于二分图 \(G=(V,E)\)，其中 \(L\) 为左部点，\(R\) 为右部点，有：

Hall 定理：上述二分图有关于 的完美匹配，当且仅当：，其中 。

上述二分图有关于 \(L\) 的完美匹配，当且仅当：\(\forall S\subseteq L,|N(S)|\ge|S|\)，其中 \(N(S)=\{y|x\in S,(x,y)\in E\}\)。

扩展Hall定理：二分图的最大匹配为：\(|L|-\max_{S\subseteq L}\{|S|-|N(S)|\}\)。注意 \(S,L\) 可以取到空集。

• 二分图最大匹配一定小于等于上式：显然
• 存在最大匹配为上式的匹配：假设不存在，一定存在一个大小为 \(\max_{S\subseteq L}\{|S|-|N(S)|\}+1\) 的未匹配集合 \(S\) ，而这之中一定存在一个被连接的右部点。因为不能增加匹配，这个右部点一定被匹配，我们再将匹配这个右部点的左部点加入 \(S\)，那么这个新加入的点又一定连向另一个右部点，如此辗转反复可以进行无限轮。而点集是有限的，矛盾，得证。