P4491 [HAOI2018] 染色 题解

P4491 [HAOI2018] 染色 题解

考虑设 \(h_k\) 表示钦定出现 \(S\) 次的颜色有 \(k\) 种，\(a_k\) 表示出现 \(S\) 次的颜色恰好有 \(k\) 种。

那么答案为 \(\sum_{i=0}^mw_ia_i\)

则 \(h_k=\sum_{j=k}^m{j\choose k}a_j\)

反演得 \(a_k=\sum_{j=k}^m(-1)^{j-k}{j\choose k}h_j\)。

分析意义得到 \(h_k={n\choose ks}\frac{(ks)!}{(s!)^k}(m-k)^{n-ks}{m\choose k}\)

带入答案得到：

\[\begin{aligned} ans&=\sum_{k=0}^mw_k\sum_{j=k}^m(-1)^{j-k}{j\choose k}{n\choose js}\frac{(js)!}{(s!)^j}(m-j)^{n-js}{m\choose j}\\ &=n!m!\sum_{j=0}^m\frac{(m-j)^{n-js}}{(n-js)!(s!)^j(m-j)!}\sum_{k=0}^j\frac{w_k}{k!}\frac{(-1)^{j-k}}{(j-k)!} \end{aligned} \]

而后面得式子就是卷积，所以 \(\mathcal O(n+m\log m)\) 解决。