P4705 玩游戏 题解

P4705 玩游戏 题解

相当有意思的一道题。

通过这道题你可以学到：

• 提取多项式的部分进行求解的思路。

• 分式的暴力合并。

• 积分求导化解不能推导的式子。

下面是正文：

用二项式定理 \(k\) 次价值答案等于

\[f_k=\frac{k!}{nm}\sum_{p=0}(\sum_{i=1}^n\frac{a_i^p}{p!})(\sum_{i=1}^m\frac{b_i^{k-p}}{(k-p)!}) \]

设

\[A(x)=\sum_{p=0}(\sum_{i=1}^n\frac{a_i^p}{p!})x^p,B(x)=\sum_{p=0}(\sum_{i=1}^m\frac{b_i^p}{p!})x^p \]

则答案为

\[f_k=\frac{k!}{nm}[x^k]A\times B \]

现在要求 \(A,B\)，以 \(A\) 为例，首先不难看出：

\[\begin{aligned} A(x)&=\sum_{p=0}(\sum_{i=1}^n\frac{a_i^p}{p!})x^p\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{p=0}\frac{a_i^p}{p!}x^p\\ &=\sum_{i=1}^ne^{a_ix} \end{aligned} \]

然后就推不动了。

所以换个思路，考虑求 \(c_p=\sum_{i=1}^n a_i^p\)。

设

\[\begin{aligned} C(x)&=\sum_p\sum_{i=1}^n a_i^px^p\\ &=\sum_{i=1}^n\frac1{1-a_ix} \end{aligned} \]

可以这样暴力计算分式：

\[\frac{A(x)}{B(x)}+\frac{C(x)}{D(x)}=\frac{A(x)D(x)+B(x)C(x)}{B(x)D(x)} \]

即分别维护分子分母，但这样常数巨大。

于是考虑积分求导。

\[\int C(x)dx=\sum_{i=1}^n-\ln(1-a_ix)a_i \]

这不好，如果没有 \(-a_i\)，就可以把求和放进 \(\ln\) 变乘积做了，所以考虑将其化掉，设：

\[D(x)=\sum_{i=1}^n\frac{-a_i}{1-a_ix} \]

这样 \(D=\frac{C-n}{-x}\)，且实现了：

\[\begin{aligned} \int C(x)dx&=\sum_{i=1}^n\ln(1-a_ix)\\ &=\ln(\prod_{i=1}^n(1-a_ix)) \end{aligned} \]

分治乘即可解决。