P6776 [NOI2020] 超现实树 题解

P6776 [NOI2020] 超现实树 题解

非常好的性质结论题，通过这道题你可以学习到：

• 对于一道性质题（给了一堆新定义，肯定是性质题），我应该如何思考。

• 如何缩小目标状态集合，从而增加性质，减少情况。

• 如何缩小已达状态集合，从而增加性质，减少情况。

那么开始吧。

一、题解题意

首先明确题意：给你一些二叉树问你能不能通过这些树「生长」（二叉树替换叶子）得到几乎所有树。

• 「几乎所有」 = 只有有限棵树得不到。

二、从小例子找规律

例子1：如果给你一棵「单点树」，一定是可以生成所有树的。

例子2：给你两棵树：「左链树」和「右链树」，不能生成几乎所有的树。

通过一些例子，我们至少发现两个事实：

• 越简单的树生成能力越强。
• 深度越小的树生成能力越强

于是可以考虑一个理想情况，不管题目原有的已有的树，对已有深度进行限制 \(h\ge w\)，然后找出一类「最小生成单元」的树，满足：

• 它们能通过替换生成其他树。

• 如果 能生成这些「基础树」，就能生成几乎所有树（充分性），否则不能几乎生成所有的树（必要性）。

玩亿下，可以发现，不论 \(w\) 取多少，这样的「最小生成单元」一定存在，称为「基础树」，结合分析，它们应该满足以下条件之一：

对于树的每个节点：

• 单点。

• 仅左儿子和仅右儿子。

• 双儿子，其中至少有一个是「单点树」。

因为选择总是简单的（空或者单点），这三条满足了”越简单的树生成能力越强“的性质，是对的。

三、总结并缩小目标状态集合

性质1：一旦当且仅当只有有限多个好「基础树」不在 \(grow(T)\) 中，树林 \(T\) 是几乎完备的。

证明考虑，因为任何一棵树 T 可以由深度相等的一棵好树长出，所以只要一定深度以上的好树都能被生成，那么这个深度以上的所有树都能被生成。

四、总结并缩小已达状态集合

目标状态后，考虑哪些已达状态是没用的，发现为：如果输入的一棵树不是「基础树」，那么它便无用。

证明考虑，这棵树不能再生成任何的「基础树」了。

所以已达树也一定是「基础树」，简化了集合，暴力递归判断即可，由于一棵树只有的每个节点只会递归到一边判断一次，复杂度 \(\mathcal O(\sum n)\)。

五、实现代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define io ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define int long long
#define double long double
#define loop(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define pool(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define mset(a,v) memset(a,v,sizeof a)
#define mcpy(a,b) memcpy(a,b,sizeof b)
#define myas(x) if(!(x))exit(1);
#define umap unordered_map
#define pb push_back
#define pc(x) __builtin_popcountll(x)
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pa;
typedef vector<int> vi;
#define DEBUG 
#ifndef DEBUG
#define cerr none
ofstream none("nul");
#endif
const int NN=2e6+5;
int n,m,tot,ls[NN],rs[NN],siz[NN];
vector<int> gootr;
bool Check(int p){
    if(!p)return 1;
    siz[p]=1;
    bool res=Check(ls[p])&&Check(rs[p]);
    siz[p]+=siz[ls[p]]+siz[rs[p]];
    return res&&min(siz[ls[p]],siz[rs[p]])<=1;
}
bool DFS(vi v){
    vi v1,v2,v3,v4;
    for(int o:v){
        if(!ls[o]&&!rs[o])return true;
        if(ls[o]&&!rs[o])v1.pb(ls[o]);
        if(!ls[o]&&rs[o])v2.pb(rs[o]);
        if(ls[o]&&rs[o]&&siz[ls[o]]==1)v3.pb(rs[o]);
        if(ls[o]&&rs[o]&&siz[rs[o]]==1)v4.pb(ls[o]);//这里加入的树可能与上一行重复，不过如果有重复，下一层必定直接回溯 
    }
    if(min({v1.size(),v2.size(),v3.size(),v4.size()})==0)return false;
    return DFS(v1)&&DFS(v2)&&DFS(v3)&&DFS(v4);
}
void Work(){
    tot=0;
    cin>>m;
    gootr.clear();
    loop(i,1,m){
        cin>>n;
        loop(j,tot+1,tot+n){
            cin>>ls[j]>>rs[j];
            if(ls[j])ls[j]+=tot;
            if(rs[j])rs[j]+=tot;
        }
        if(Check(tot+1))gootr.pb(tot+1);
        tot+=n;
    }
    DFS(gootr)?cout<<"Almost Complete\n":cout<<"No\n";
    return;
}
signed main(){
    io;int T;cin>>T;
    while(T--)Work();
    return 0;
}

参考&鸣谢：

题解 P6776 【[NOI2020]超现实树】 - 洛谷专栏

某科学的超现实树 - 洛谷专栏

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