canonicalize与费用均摊——CF1267G Game Relics题解

canonicalize与费用均摊——CF1267G Game Relics题解

这是一个根据随机状态动态调整决策的问题，应该先canonicalize（决策规范化），考虑一个决策的过程是怎样的。

分析发现，最优决策一定是先抽再买。

因为“买”操作的花费仅与剩余价格和有关（一旦开始买，就不再抽，费用就是剩下的物品价格和），“抽”操作的花费仅与获得物品数量有关，那么就关注这两个状态。

假设还剩 \(a\) 个物品没拥有，剩余总价格和为 \(w\)，考虑应该“抽”还是“买”。

• 如果“买”，花费就是 \(w\)。

• 如果"抽"，由于随机，期望花费 \((\frac{n}a-1)\frac x2+x\)，抽到一个新的物品，但是具体获得那个未知。如果暴力枚举每一种可能+用 dp 转移会 TLE。

于是要使用费用均摊，既然一开始"买"后就不再“抽”了，费用就是确定的，那我可以均摊到每次进行计算，取平均数 \(\frac wa\) 与 \((\frac{n}a-1)\frac x2+x\) 的较小值，相当于抽到什么就买什么。于是就可以计算了。

但还有一个问题——由于“抽”是不确定的，所转移到的状态就是不确定的，没法直接使用dp转移计算。

于是可以利用期望的线性，设 \(f(i)\) 表示选了 \(i\) 个物品后再选一个物品的最小期望花费。

那么答案就是 \(\sum f(i)\)。

考虑求 \(f(i)\) ，假设还剩 \(w\) 的总价格，那最小费用就是 \(\min\{\frac w{n-a},(\frac{n}{n-a}-1)\frac x2+x\}\)，由于我们“抽到什么就买什么”，这样不论“抽“还是“买”，都是随机的，那么直接乘上随机选 \(i\) 个物品价值和为 \(j\) 的概率 \(p_{i,j}\)。这可以用背包轻松求解。

复杂度 \(\mathcal O(n\sum w)\)。