连接字符串 题解

连接字符串 题解

题面描述

你有两个小写字母串 \(S\) 和 \(T\) 。令 \(f(S)\) 表示 \(S\) 中所有不同的非空子串形成的集合。
令 \(G\) 表示所有 \(s\in f(S),t\in f(T)\) ，\(s+t\) 形成的多重集。问 \(G\) 中字典序第 \(k\) 小串。

\(|S|,|T|\le 75000\)

题解

字符串字典序考虑逐位枚举确定。

建出 \(S,T\) 的后缀自动机，记从 \(u\) 开始的路径数为 \(cnt_u\)。

若现在已经找到了 \(ans\) 的一个前缀 \(pre\)，现在要确定这个以 \(pre\) 为前缀的 \(G\) 中元素个数，设在 \(samS\) 上匹配 \(pre\) 的最长前缀走到节点 \(u\)，\(samT\) 上匹配 \(pre\) 的最长后缀走到节点 \(v\)，分为两种情况：

• \(pre\) 是 \(S\) 的子串，那么有 \(cnt_u\times |samT|\) 的方案

• \(pre\) 由 \(S\) 的字串与 \(T\) 的子串拼接，设 \(s\) 是匹配的最长前缀，\(t\in f(T)\land t\) 是 \(pre\) 后缀，那么只要 \(|t|+|s|\ge |pre|\) 的 \(t\) 就是合法的，设 \(w\) 是第一个包含不合法 \(t\) 的 \(v\) 的祖先那么能算进答案的就是 \(w\) 代表串的后缀到 \(v\) 代表串的前缀。

只要我们能不断维护 \(u,v,w\) 就可以算出次数。

具体方法：

1. 预处理出 \(trans[u][c]\) 表示从 \(u\) 节点时又来一个 \(c\) 时转移到的位置，类似AC自动机。

2. \(u\) 只走 \(trie[u][c]\) 走不动就不走，\(v,w\) 都走 \(trans[u][c]\) 且若 \(w\) 代表的节点太长要向上跳 \(fail\)。

3. 可以发现 \(v,w\) 是单独更新的，如果通过 \(v\) 用倍增算 \(w\)，会有 $\log $ 的复杂度。

最终复杂度 \(\mathcal O(n|\Sigma|)\)，处理一个节点代表的串的前后缀时有一堆细节。