一类二选一构造问题

一类二选一构造问题

——“三分图”题解

题目描述

\(G=(V,E)\) 是一张 \(3n\) 个点 \(m\) 条边的无向简单连通图。

将 \(V\) 划分为 \(V_1,V_2,V_3\) 三部分，满足以下三个条件中任意两个：

1. 各部分包含的点数相等，即 \(|V_3|=|V_2|=|V_1|=n\)。

2. 若删除边集 \(E\) 中两端属于同个部分的边得到 \(E'\)，则 \(G'=(V,E')\) 仍是连通图。

3. 对于边集 \(E\) 中两端属于同个部分的任意边 \((u,v)\)。若 \(u,v\in V_i\)，则 \(|V_i|<\max\{|V_1|,|V_2|,|V_3|\}\)。

给定 \(G\)，求任意一组合法构造。

题解

首先建出图的DFS树，将奇数深度点划分至 \(V_1\) ，偶数深度点划分为 \(V_2\) 。

现在一定满足条件 2，那么要划出一些点到 \(V_3\)，使其满足条件 1 或 3。

• \(\max \{|V_1|,|V_2|\}> 2n\)

  不妨设 \(|V_1|<|V_2|\)，根据DFS树的性质，叶子节点之间没有连边，在树上做最大匹配，则 \(|V_2|-|V_1|=叶子节点树> n\)，所以直接把叶子节点放到 \(V_3\) 即可满足条件 3。

• \(\max\{|V_1|,|V_2|\}\le 2n\)

  可以在 \(V_1\) 中选择 \(|V_1|-n\) 个点，\(V_2\) 中选 \(|V_2|-n\) 个点放入第三部分，使得这其中两两无父子关系，这样他们还是可以通过树边联通，满足条件 2，且大小相等满足条件 1。

  证明：考虑仅限制父亲，\(V_2\) 部分选出的点使得 \(|V_2|-n\) 个 \(V_1\) 部分的点不能选，然而 \(|V_1|-(|V_2|-n)\ge |V_1|-n\) 所以一定选的出来。