Dinic其他复杂度

Dinic其他复杂度

设\(S=\sum_p\min\{in_p,out_p\}\)

其中\(in_p\)表示p节点入边容量和，\(out_p\) 表示p节点出边容量和

假设前面已经进行了\(\sqrt{S}\)轮增广，则\(dep[t]\ge \sqrt S\)因为Dinic的DFS会全部更新按增广路径长度为\(dep[t]\)的增广路。

假设接下来的增广路径长度最短为\(L_{min}，L_{min}\ge \sqrt S\)，假设接下来的参量网络上还有\(d\)条增广路。

由于每个点\(p\)只能被\(\min\{in_p,out_p\}\)条路径穿过，所以\(d\times L_{min}\le S\)即\(L_{min}\le\frac{S}{d}\)

所以\(\sqrt S\le \frac Sd\)所以\(d\le \sqrt S\)

所以最后在经行\(\sqrt S\)轮增广

所以一共的增广轮数为\(O(\sqrt S)\)