简记Dilworth定理

简记Dilworth定理

图论形式：DAG 的最小链覆盖等于最大独立集。

数学形式：对于一个满足偏序关系 \(\preceq\) 的集合 \(S\)，定义“链”表示：\((p_1,p_2,\cdots p_n)\text{ st. }p_i\preceq p_{i+1}\)，"反链"表示：\((p_1,p_2,\cdots,p_n)\text{ st. }\forall i,j,p_i\not\preceq p_j\land p_j\preceq p_i\)

则最小链覆盖数=最长反链长度，最长链长度=最小反链覆盖数。

例题：导弹拦截

令一共有  \(n\) 个导弹，第 \(i\)个导弹的高度为 \(h_i\)，则集合 \(\{(i,h_i)\}\) 为偏序集，其上的偏序 \(\preceq\) 定义为：

\[(i,h_i)\preceq (j,h_j)\iff(i\le j\land h_i\ge h_j) \]

进而根据 Dilworth 定理有：序列的不上升子序列的最少覆盖数等于最长上升子序列长度。

于是求最长上升子序列即可。