上下界网络流

上下界网络流

上下界流就是在普通的网络中加了下界。却还是要对于非源汇点，满足入流=出流，于是可能存在不合法的情况。

基础款

无源汇可行流

就是：

• 对于每个点，入流 = 出流

• 对于每条边，流量 $\in $ 合法区间

我们先满足其下界，但这样可能出现入流 \(\ne\) 出流的情况，于是在差网络上调整。

在强制满足下届后，对于一个点 \(x\)，设其入流总和为 \(in\)，出流总和为 \(out\) 可能有三种情况：

• \(in=out\)：这是好的，不用在处理了。

• \(in<out\)：即在差网络上需要额外的入流，可以将 \(x\) 与人造汇点 \(T'\) 相连，边权为 \(out-in\)，这样当 \(x\) 在差网络上流量平衡时，就恰好满足了额外流入。

• \(in>out\)：即在差网络上需要额外的出流，同理将人造源点 \(S'\) 与 \(x\) 相连，边权为 \(in-out\)，即可。

建好后跑 \(S'\to T'\) 的最大流，使得所有与 \(S',T'\) 相连的边都满流即可。

如果 \(S',T'\) 存在未满流的边，则不存在。

综上我们可以得到若干性质：

• 一个网络存在可行流要求这个网络必须强连通。

• \(a\to b\) 的流 = \(b\to a\) 的流

有源汇可行流

就是可以存在一个源点 \(S\) 与汇点 \(T\) 不满足流量守恒定律。

因为 \(S\) 只能出， \(T\) 只能进，连一条 \(T\to S\) 边权为 \([0,+\infin)\) 的边即可转化为无源汇的情况，这条边的流量即为 \(S\to T\) 的流量。

提高款

有源汇最大流

即 \(S\to T\) 满足条件的最大流量。

由于最大流增广路的选择是不可控的，最后差网络（不包括人造源汇点）的流量是不可控的也就不能保证差网络的其中两点的流量是最大的。

于是，我们在参量差网络上跑 \(S\to T\) 的最大流即可，这是因为最大流的每次增广不影响网络的流量平衡关系（即对于每个点 \(x\)，不影响 \(in_x-out_x\) 的值，这是因为每次增广都是进 \(x\) 多少流量，出多少流量，除了 \(S,T\) 这两个点）。

答案就是原来 \(S\to T\) 的流量加上这个最大流。

这种方法适用于网络中任何两个点作为 \(S,T\)，但是要注意 \(S,T\) 本身不满足流量平衡定律。

有源汇最小流

即 \(S\to T\) 满足条件的最大流量。

同理跑 \(T\to S\) 的最大流即可，答案就是原来 \(S\to T\) 的流量减去这个最大流。

可以发现 \(S\to T\) 满足条件的可行流的流量是一个区间，最小流与最大流就是其左右端点。

最小费用可行流

下界网络满流的费用，加上在差网络上跑MCMF后得到的费用之和。有没有源汇都可以。

消去负权边

在求最小费用可行流的时候，可能会出现负环导致亖掉，注意到将原网络分离出的”下界网络“不一定全部选用”下届“，加入有负权边 \((a,b)\)，在”下界网络“中强制使其满流，然后加入其反边，这个反边权值一定为正，于是就消去了所有负权边。

在处理一般网络流问题时也可以使用这个方法。

进阶款

最小费用最大流

先跑出最小费用可行流，在跑出 \(S\to T\) 的最小费用最大流，答案为其和。