洛谷2025省选测试D1T2“羽毛” 题解

洛谷2025省选测试D1 T2“羽毛” 题解

快进到：本题可以转化为，每次询问给定 \(l,r\) 求：

\[\begin{aligned} &\max x\\ \text{st}.&\sum_{i=0}^xc_i=x+1\\ &c_i=\sum_{j=l}^r[a_j=i] \end{aligned} \]

赛场思路：“一个位置 p 加上 1 后，根据前缀和，p~n 的所有位置加1，假设上一次答案为q
那么新的答案必定在 \([max(p,q+1),n]\) 中产生。
而这些数在之前都没有超过0，若有新的答案，其必定是区间最大值。
于是维护区间最大值可以解决 。对于在 p 位置上减 1，那么 \(q\in [p,n]\) 可能让 q 不为答案，这时可能有正数减为0，但原本是有负数的所以做不了
即：可以插入，不能删除，可以回滚莫队，复杂度$O(n\sqrt q\log n) $”

然而常数太大，没暴力快。

设 \(F([l,r],x)=\sum_{i=0}^x(\sum_{j=l}^r[a_j=i]-1)\)，由于考场上我认为 \(F([l,r],x)\) 不单调所以不能二分，每次重新找位置是 \(\mathcal O(n)\)，才用回滚莫队，但实际不是。

如果在值域线段树上维护区间 \(F([l,r],x)\) 最值，每次左右递归的时候看右区间的 \(mx\) 是否大于 \(0\) 即可。

即使域不单调，也可以线段树上二分求解想要的信息，因为它维护区间信息，而不是单点求值。

那么就没必要用回滚莫队，常数大大减小。

出题人说可以做到 \(\mathcal O(n\sqrt n)\) 但我不会。

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可以看出来这道题离线不带修就是让你扫描线的。但扫 \(l,r\) 都很难做

答案很小的时候，可以直接对答案域进行扫描线，转而同时维护所有询问的信息。

\(ans=n\to 1\) ，设此时 \(ans=x\)，若 \(F([l_i,r_i],x)=x+1\)，则马上确定 \(ans_i=x\)，不再考虑 \(qry_i\)。

现在 \(ans:x\to x-1\)，即要删去 \(x\) 的贡献，令 \(a_i=x\) 则 \(\forall i\in [l_i.r_i],F([l_i,r_i])\) 自减 \(1\)。

然后就发现做不了，因为这关心两维限制，而我们不能再扫描线降维了。

同时关心多个区间，可以考虑排除包含的情况，简化问题。

发现若 \([l_j,r_j]\subseteq [l_i,r_i]\) 即区间包含，则 \(ans_j\le ans_i\)，当没有确定 \(ans_i\) 时，\(ans_j\) 一定不会被确定，此时没必要考虑。

于是被考虑的区间不包含。

对于不相互包含的区间，排序后，包含位置 \(i\) 的区间，一定连续。

那么我们就可以用线段树或平衡树维护，复杂度 \(\mathcal O((n+q)\log n)\)。

如何找到应该被插入的区间？

我们将区间排序后，建立一个线段树维护 \(max_{i\in [L,R]}r_i\)。这样当一个区间 \([l_i,r_i]\) 被删除时，找到上一个正被考虑的区间 \(lst\) ，下一个正被考虑的区间 \(nxt\) 那么对于所有 \(lst<i<nxt,r_i>r_{lst}\) 且没有被考虑过的 \(i\) 应该被插入，这就不断找变成查询区间中第一个满足 \(r_i>r_{lst}\) 的 \(i\)，可以线段树上二分解决。