记录一种DAG计数方法与一个配套技巧

记录一种DAG计数方法与一个配套技巧

定义 \(f_S\) 表示集合 \(S\) 中的点构成的合法 DAG 子图的方案数。假设找到 DAG 中一个入度为 \(0\) 的节点 \(x\)，那么很明显 \(f_S=\sum_{x}f_{S\setminus \{x\}}\)，这明显要算重因为 \(S\setminus \{x\}\) 中也有入度为 \(0\) 的点。

于是有一个容斥的想法，设 DAG 中一个入度为 \(0\) 的点集至少是 \(T\)，根据容斥的思想，其应该贡献 \((-1)^{|T|+1}\) 的权值

于是有表达式 \(f_S=\sum\limits_{T\subseteq S,T\ne \emptyset}f_{S\setminus T}(-1)^{|T|+1}\) 。

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技巧：一个判断点集 \(T\) 是否能到点集 \(S\) 的方法：记录所有可以到点集 \(S\) 的点的集合 \(from[S]\)，直接看 \(T\cap from[S]=\emptyset\) 即可。

注意：c++ 中 & 运算的优先级低于 == 运算。

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P6846 [CEOI 2019] Amusement Park

CF1193A Amusement Park 与这道题是双倍经验

用一种对称的观点看，我们发现若存在一种翻转 \(x\) 条边的方案，那么一定存在另一种翻转 \(m-x\) 条边的方案，那么问题变成了：给定一个无向图，你可以给边定向，求无向图个数，最后乘上 \(\frac m2\)。

于是设 \(f_S\) 表示点集 \(S\) 构成的子图的合法 DAG 数量，根据上面的方法，有 \(f_S=\sum_{T\subset S,T\ne \emptyset}(-1)^{|T|+1}f_{S\setminus T}\times c(T)\) 其中 \(c(T)\) 表示 \(T\) 集合中是否两两无边。

AT_abc306_h [ABC306Ex] Balance Scale

如果不考虑 =，那么容易发现答案不合法当且仅当有同序的关系构成了一个环，于是这就是一个 DAG 计数，与上一道题是一模一样的。

容易发现添加了 = 后，相当于把几个点构成的子连通块合并在了一起，类比一下，发现可以把这样一个连通块当作一个“点”进行添加，即：

同理配容斥系数，设 \(cnt_T\) 表示一个点集 \(T\) 的子图联通块数，则：

\(f_S=\sum_{T\subseteq S,T\ne \emptyset}(-1)^{cnt_T+1}f_{S\setminus T}\)

\(\mathcal O(3^n)\) 已经可以解决这道题。

更优的复杂度：发现这是一个子集卷积，用子集卷积可以做到 \(\mathcal O(2^nn^2)\) 的复杂度。

[学习笔记]子集卷积 - epic01 - 博客园

TG178X 的模拟赛题“单独行动”

题目：给一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图，每条边 \((u,v)\) 分别有 \(\frac 13\) 的概率变为 \(u\to v,v\to u\) 和消失，求最后为 DAG 的概率。

\(n\le 20\)

首先按照方法设出 dp 并写出转移式：

\[f_S=\sum_{T\subseteq S,T\ne \emptyset}f_{S\setminus T}2^{E(S)-E(T)-E(S\setminus T)}(-1)^{|T|+1} \]

其中 \(E(S)\) 表示两端都在 \(S\) 中边数。这道题 \(\mathcal O(3^n)\) 过不了。

将式子变为：

\[\frac {f_S}{2^{E(S)}}=\sum_{T\subseteq S}\frac {(-1)^{|T|+1}}{2^{E(T)}}\frac {f_{S\setminus T}}{2^{E(S\setminus T)}} \]

这可以子集卷积，复杂度 \(\mathcal O(2^nn^2)\)。

P10221 [省选联考 2024] 重塑时光

不难发现 \(k=0\) 就是 DAG 拓扑排序数，用一个简单的状压 DP 即可解出。

当 \(k\ne 0\) 时，相当于将点集分成了小于等于 \(k\) 块（先不考虑空集），求块内是合法的 DAG 拓扑排序，块间不存在环的方案数。“不存在环”就是 DAG，块间变成了一个 DAG 计数，而块内我们已经解决了，这是一个正确的思路。

设 \(S\) 块内重排列满足条件的方案数为 \(h_S\)，有：

\[h_S=\sum_{T\subseteq S}h_T\times c(T,S\setminus T) \]

其中 \(c(S,T)\) 表示 \(S\) 不能到 \(T\)。

设 \(g_{S,i}\) 表示把 \(S\) 中的点分成 \(i\) 块使得其中块间两两无边的方案数，有：

\[g_{S,i}=\sum_{T\subseteq S}g_{S\setminus T,i-1}\times c(T,S\setminus T)\times c(S\setminus T,T) \]

设 \(f_{S,i}\) 表示把 \(S\) 中的点分成 \(i\) 块使得构成 DAG 的方案数，有：

\[f_{S,i}=\sum_{T\subseteq S}c(T,S\setminus T)\times c(S\setminus T,T)\times \sum_{j=0}^if_{S\setminus T,i-j}g_{S,j} \]

最终答案为 \(\frac{k!(k+1)!}{(n+k)!}\sum_{i}\frac {f_{U,i}}{(k+1-i)!}\)。

于是可以在 \(\mathcal O(n^23^n)\) 的时间复杂度下求解，然而还可以更快。

容易发现上面的转移式是一个卷积。设 \(F_S(x)=\sum\limits_{i}f_{S,i}x^i,G_S(x)=\sum\limits_{i}g_{S,i}(-1)^{i+1}x^i\)，则上述转移式可以改写为：

\[F_S(x)=\sum_{T\subseteq S}F_{S\setminus T}(x)G_S(x) \]

带 \(n\) 个 \(x\) 进去求出值后，再用拉格朗日插值求出系数即可。

复杂度 \(\mathcal O(n3^n+n^22^n)\)。

P6295 有标号 DAG 计数

先咕

【清华集训2014】主旋律

这是求强连通的子图，我们知道强连通图缩点后就是一个点，而非强连通图缩点后就是DAG，于是可以通过 DAG 计数的方法计算出非强连通图的个数后，从而得到强连通图的个数。

设 \(f_S\) 表示点集 \(S\) 的强连通子图的方案数，可以套路的列出下列式子：

\[f_S=2^{E(S,S)}-\sum_{T\subseteq S,T\ne \emptyset}2^{E(T,S\setminus T)+E(S\setminus T,S\setminus T)}g_T \]

其中 \(E(S,T)=|\{(u,v)|u\in S,v\in T\}|\)。

\(g_T\) 是点集 \(T\) 的带容斥系数的分成若干强连通分量的方案数，这里的容斥系数本来应该是 \((-1)^{强连通分量数+1}\)，但由于并不知道具体强连通分量数，只能如此处理。枚举其中一个元素所在的强连通块，有如下式子：

\[g_S=-\sum_{T\subseteq S,\max S\in T}f_Tg_{S\setminus T} \]

注意：

• 根据定义 \(-f_Sg_{\emptyset}\to g_S\) 的更新应该放在 \(f_S\) 处理完毕之后。

• \(g_{\emptyset}=-1\)

代码：提交记录 #739694

HDU 4997 Biconnected

题意：给一张图，问有多少种加边的方法，使得图是边双。

GYM 102331C Counting Cactus

题意：给一张图（无重边自环），求有多少个边的子集使得没有任何一条边在两个环中。 （生成边仙人掌计数）

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一个参考文章：一类图论相关的状压 DP 题的常见解法 - Mackerel_Pike - 博客园，里面说这种方法不仅可以运用在DAG计数，还可以运用在连通图、强连通、双连通图的计数与最优化上。其中计数问题需要容斥，最优化问题则不需要。