关于期望线性性与min-max容斥

关于期望线性性与min-max容斥

——gym102978H Harsh Comments题解

题目：

有 \(n\) 个 \(A\) 物品，价值为 \(a_i\)，\(m\) 个 \(B\) 物品，价值为 \(b_i\)。每次按价值加权等概率删掉一个物品（\(val\)/剩余\(sum\)），求删完 \(A\) 物品的期望步数，对 \(99824353 取模\)。

\(n,m,a_i\le100\)。

题解：

首先是min-max 容斥，将式子写为： \(\sum_{S}(-1)^{|S|-1}\min_{i\in S}\{t_i\}\)，如果要使用min-max容斥，一定要考虑将其 \(\min\{t_i\}\) 变为一个直接的表达式，否则一定做不出来（就目前的题目来看）。

但如果直接做，我们发现由于不同的物品带有不同的权值，删除不同的物品会带来不同的后效性，考虑整个过程会非常麻烦。所以直接考虑每个物品对 \(S\)的贡献（这与以前先列出01变量在拆分不同，相反做困难题目的时候应该熟练考虑贡献而不是一步一步的列01变量）。

对于一个价值为 \(val\) 的物品，其在 \(S\) 之前被选择的概率为 :\(\frac {val}{val+\sum_{i\in S}a_i}\)。

于是对于 \(a_i\)，其贡献为，令 \(sum=\sum_{i\in S}a_i\)：

\[\begin{aligned} &\sum_{S}(-1)^{|S|-1}\sum_{i\notin S}\frac{a_i}{sum+a_i}\\ =&\sum_{i}\sum_{sum}\frac{a_i}{sum+a_i}\sum_S[i\not\in S][sum_S=sum](-1)^{|S|-1}&&\color{red}{直接枚举元素！}\\ \end{aligned} \]

后面这个相当于一个背包，可以解决。

\(b_i\) 的贡献类似：

\[\sum_{i}\sum_{sum}\frac{b_i}{sum+b_i}\sum_S[sum_S=sum](-1)^{|S|-1} \]

直接背包解决。