小郭的矩形

小郭的矩形

——洋葱式推式子+拆组合数递推式子+\({0\choose 0}\) 不能拆+等式两边同时前缀和

题目描述

\[f(i,j)=\begin{cases}p\times f(i-1,j)+q\times (i,j-1)+c&&i\geq1,j\geq1\\a_i&&i\geq1,j=0\\b_j&&i=0,j\geq1\\0&&i=j=0\end{cases} \]

\[ans=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nh^{i(n+1)+j}f(i,j) \]

求 \(ans\) 对 \(998244353\) 取模的结果。

题解

分别考虑 \(a_i,b_i,c\) 对中心区域的贡献

\(a_i\) 的贡献

\(P=p\times h^{n+1},Q=q\times h,a_i\times h^{i(n+1)}\to a_i\)

形如：

\[\begin{bmatrix} 1&Q&Q^2&Q^3\\ &QP&Q^2P&Q^3P\\ &QP^2&Q^2P^2&Q^3P^2 \end{bmatrix} \]

所以贡献为：

\[ans=\sum_{x=1}^na_x(1+Q\sum_{i=0}^{n-x}\sum_{j=0}^{n-1}Q^iP^j{i+j\choose i}) \]

令 \(f(x)=\sum_{i=0}^{x}Q^i\sum_{j=1}^{i-1}P^j{i+j\choose i}\)，则 \(ans=\sum_{i=0}^na_x(1+Q\times f(n-x))\)

令 \(g(x)=\sum_{j=0}^{n-1}P^j{x+j\choose j}\)，则 \(f(x)=\sum_{i=0}^x Q^ig(i)\)

因为：

\[\begin{aligned} g(x)&=\sum_{i=0}^{n-1}P^i{x+i\choose i}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}P^i({x+i-1\choose i}+{x+i-1\choose i-1})\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}P^i{x+i-1\choose i}+P\sum_{i=0}^{n-2}P^i{x+i\choose i}\\ &=g(x-1)+Pg(x)-P^n{x+n-1\choose n-1}\\ \end{aligned} \]

所以：\(g(x-1)=(1-P)g(x)+P^n{x+n-1\choose n-1}\)。

于是可以 \(\mathcal O(n)\) 求解。

\(b_i\) 的贡献

\(b_i\leftarrow b_i\times h^i\)

形如：

\[\begin{bmatrix} 1&&\\ P&QP&Q^2P\\ P^2&QP^2&Q^2P^2\\ P^3&QP^3&Q^2P^3 \end{bmatrix} \]

所以贡献为：

\[ans=\sum_{x=1}^nb_x(1+P\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-x}Q^iP^j{i+j\choose i}) \]

令 \(ans=\sum_{x=1}^nb_x(1+f(n-x)),f(x)=\sum_{j=0}^{n-x}P^jg(j),g(x)=\sum_{i=0}^{n-1}Q^i{i+x\choose i}\)

\[\begin{aligned} g(x)&=\sum_{i=0}^{n-1}Q^i{i+x\choose i}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}Q^i{i+x-1\choose i}+Q\sum_{i=0}^{n-2}Q^i{i+x\choose i}\\ &=g(x-1)+Qg(x)-Q^n{x+n-1\choose n-1} \end{aligned} \]

所以 \(g(x-1)=(1-Q)g(x)+Q^n{x+n-1\choose n-1}\)，可以 \(\mathcal O(n)\) 求解。

\(c\) 的贡献

\[ans=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^nh^{x(n+1)+y}(\sum_{i=0}^{n-x}\sum_{j=0}^{n-y}P^iQ^j{i+j\choose i}) \]