确定矛盾，细化限制—— P10144 [WC2024] 水镜 题解

确定矛盾，细化限制—— P10144 [WC2024] 水镜 题解

\(\mathcal O(n^3)\) 做法

我们发现 \(h_i'\) 其实是将 \(h_i\) 关于 \(L\) 对称，可以发现，存在一个合法的解当且仅当 \(|h_i-L|\) 严格先减后增，形如一个 V 字，我们的选择方案如下：

现在考虑上升与下降时 \(L\) 满足的条件，以下降为例：

\[|h_{i-1}-L|>|h_i-L|\implies 2(h_i-h_{i-1})L>(h_i-h_{i-1})(h_i+h_{i-1}) \]

根据 \(h_{i-1}\) 与 \(h_i\) 的大小关系讨论即可。上升的方向取反

于是对于每一个区间，枚举 V 型结构转折点即可。枚举复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)，检验复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

\(\mathcal O(n^2)\)做法

发现有区间包含单调性，即若一个区间 \(S\) 满足条件，则 \(S\) 的所有子区间都可以。

于是不用枚举所有区间，而是用双指针进行处理。

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\(\mathcal O(n\log n)\) 做法

时间复杂度的瓶颈在Check函数这是由于我们需要根据 V 型结构转折点的不同进行不同的可取集合限制，即两个相邻元素是上升还是下降是不确定的。

确定矛盾，细化限制——用于需要枚举的Check：即整理出一个确切的矛盾点，使得可以不用枚举而是可以直接进行确定性的限制。

一个整体 V 型结构的充要条件是不存在任何的 \(\land\) 结构，即不存在 \(|h_{i-1}-L|\le|h_{i}-L|\ge |h_{i+1}-L|\)，即不存在：

\[\left\{\begin{aligned} 2(h_i-h_{i-1})L\le(h_i-h_{i-1})(h_i+h_{i-1})\\ 2(h_i-h_{i+1})L\le(h_i-h_{i+1})(h_i+h_{i+1}) \end{aligned}\right. \]

即：

\(L\not\in\)	\(h_{i-1}<h_i\)	\(h_{i-1}=h_i\)	\(h_{i-1}>h_i\)
\(h_i<h_{i+1}\)
\(h_i=h_{i+1}\)
\(h_{i}>h_{i+1}\)

将表中的限制列出来，发现要么是空集，要么是单边不等式，令 \(A(i)=\{L|\left|h_{i-1}-L\right|\le|h_{i}-L|\ge |h_{i+1}-L|\}\)，则区间 \([l,r]\) 的不可行区间为 \(\bigcup_{i=l+1}^{r-1}A(i)\) ，这是可以用 \(ST\) 表做到 \(\mathcal O(n\log n)\)，但用一些神奇算法可以做到 \(\mathcal O(n)\)。