Hash

Hash

一种快速判定的方法，具体是将一个复杂的结构映射成一个整数，用极低的错误概率换取极快的比较效率。

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进制Hash

对于序列的Hash，关心元素之间的位置关系。
不要把任意字符对应到数字0，比如假如把a对应到数字0，那么将不能只从Hash结果上区分ab和b.

注意有时候卡自然溢出和 int 范围内的模数，可以使用 \(10^{18}+3\) 。

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异或Hash

随机赋权，针对于集合的Hash，可以实现出现一个数时加入，再次出现时删除。

应用一：判断一个区间是否与给定的一些区间存在交叉

从端点的角度考虑，假设给定了一些区间 \([L_i,R_i]\)。

对于每个 \([L_i,R_i]\) ，使用异或Hash，随机一个权值 \(v\)，\(q_L\oplus v\to q_L,q_{R+1}\oplus v\to q_{R+1}\)，最后令 \(V\) 表示 \(q\) 的前缀异或和。

那么另一个区间 \([l,r]\) 没有与任何一个 \([L_i,R_i]\) 交叉的充要条件为 \(V_l=V_r\)

应用二：判断两个点“环境”是否相同。

比如：给定 \(n\) 个区间，那么一个点被那些区间包含就是一个“环境”。两个点严格被相同的区间包含，就称作两个点环境相同。

对于这个问题，和应用一类似，给每个区间赋一个权值，分别打在左闭右开端点上，求前缀异或和。

如果两个位置的值相同，就认为这两个点“环境”相同。

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加和Hash

针对于可重集的Hash，\(+w_x\) 即向集合加入一个 \(x\) ，\(-w_x\) 即从集合中删除一个 \(x\)。

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记一种随机权值Hash的快速查表方法

对于 for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=rnd();如果我们要查询一个 \(W\) 在不在 \(\{w\}\) 里，或者进一步的想知道对应的下标是什么，有以下方法。

朴素想法：unordered_map，就是之间建立反过来的映射，这样常数太大。

手写Hash表：即取 \(w\) 后若干位，将相同的放入一个vector每次遍历查找，由于 \(w\) 是随机的，期望大小为 \(\mathcal O(1)\)。

进阶想法：直接将 \(w_i\) 的二进制下的后__lg(n)位变成 \(i\)，这样遇到一个数 \(W\)，取出后__lg(n)位，设作 \(x\)，如果 \(x\in [1,n]\land w_x=W\)，则 \(W\) 存在。