期望

期望概率问题的解法

一、本质

所有情况的答案的加权平均值

二、入手点

(一）定义求解

用于有限情况

Crypto Lights

（二）线性

拆分单元

拆分为每个单元（最好）转化为0/1随机变量

例子：D:\文章\‪P9963前缀和_数学推导解法.md

容斥

min-max容斥

【小 A 扔骰子】

\(\operatorname{E} \max\limits_{i\subset S}t_i\\=\sum\limits_{T\sub S,T\not=\empty}(-1)^{|T|+1}\operatorname{E} \min\limits_{i\in T}t_i\\=\sum\limits_{T\sub S,T\not=\empty}(-1)^{|T|+1}\dfrac{n}{|T|}\\=\sum\limits_{i=1}^n\tbinom{n}{i}(-1)^{i+1}\dfrac ni\)

P5643 [PKUWC2018] 随机游走

（三）DP

主元法

概率 dp 和期望 dp 经常会出现转移关系成环的情况，无法直接转移。最朴素的解决方法是暴力高斯消元。
但在特殊情况下，我们有一些技巧来快速求解 dp 值，上一道题的解法就是其中一种，称之为主元法。

例：P5249 [LnOI2019] 加特林轮盘赌

小 A 抛硬币

\(f(x)\)表示已经连续抛出了 x 个 1，期望再抛几次能完成要求。显然答案就是\(f(0)\)

我们考虑继续抛下一个硬币，那么如果抛到了正面则会转移到\(f(x+1)\)，否则转移回\(f(0)\)

即\(f(x)=\dfrac{f(x+1)+f(0)}2+1\)

递推

【小 A 扔骰子】

局面DP（状压DP）

Fish

换根DP

P4284 [SHOI2014] 概率充电器、P2081 [NOI2012] 迷失游乐园

（四）0/1随机变量法

将事件分为发生（1）与不发生（0），于是将其转化为概率问题

P2081 [NOI2012] 迷失游乐园

[AGC049A] Erasing Vertices中，研究每个点被选中的概率，结合线性拆分单元转化为0/1随机变量法

（五）生成函数

P4548 [CTSC2006] 歌唱王国

（六）贡献的期望

如果一个东西是确定的，那么直接加上贡献，
如果一个东西是不确定的，那么直接加上贡献的期望
贡献的期望可以是一堆贡献的期望的和。

P1654 OSU!

三、一些结论

1. 对于事件\(\omega\)，其每次发生概率都为\(p\)，则其期望步数为\(\frac1p\)

证明：\(\operatorname E=\sum\limits_{i=1}p(1-p)^{i-1}i\\(1-p)\operatorname E=\sum\limits_{i=1}p(1-p)^ii\\p\operatorname E=p\sum\limits_{i=1}(1-p)^i=1\\\operatorname E=\dfrac1p\)

需要证明 \(\operatorname E\) 收敛

2. 全局确定性

从全局来看，每个位置的概率是一开始就决定好的，不会因为前面的选择二改变

例：P3802 小魔女帕琪中，对于全局来说每个位置的概率不受前面选择的影响，因为从整个初始的全局来看，此题是没有前后选择之分的。（用数学归纳法也可以证明）

P4819 [中山市选] 杀人游戏 中，对于全局来说每个人是凶手的概率并不会因为前面的操作（选择的嫌犯）而改变

3. 权值为1退化性

当事件发生时的权值为1时，求期望就是求概率

四、题目类型

1. 属性模型

概率是一个元素的属性在一开始就确定，而不受操作的影响

2. 随机游走模型

即从一个状态以一定概率到下一个状态