记述

P1155 [NOIP2008 提高组] 双栈排序

数学限制与二分图的转化

先保证合法，再考虑构造，减少讨论

如果存在 \(j<i<k\land a_i<a_j<a_k\)，则 \(i,j\) 不能放在一个栈中，连边 \((i,j)\)，输入合法当且仅当构成二分图。

接着构造方案，每次插入前先看字典序比其小的弹出操作能否进行即可。

P9870 [NOIP2023] 双序列拓展

dp与网格路径的转化

考虑最值

将DP转移的过程看作网格图的一条转移路径，在这上面找到特殊性质，分治解决。

2024.10.2T4 逆序图

特殊生成的图与序列的转化

元素积之和等于元素和之积

观察整个生成的过程，不难看出一个连续快一定是序列的一段，于是这就变成了一个序列计数问题。
可以考虑套路的枚举最后个连续段 \(j+1\sim i\)，因为 \(1\sim j\) 的所有元素都小于 \(j+1\sim i\)，前面就是两个完全独立的子问题。设答案为 \(f_n\)，则：

\[f_{i}=\sum_{j<i}f_{j}g_{i-j}+f_jh_{i-j}+j!g_{i-j} \]

\(g_i\) 表示大小为 \(i\) 的联通段方案权值之和， \(h_{i}\) 表示大小为 \(i\) 的联通段个数。

这三部分分别表示：这一个选并且前面选了，这一个不选并且前面选了，这一个选了并且前面不选。

考虑如何求解 \(g,h\)。

\(h\) 的求法十分套路，求联通图的个数等于总个数-不连通的个数。不连通说明可以划分为多个连通块，于是枚举第一个连通块。 \(h_{i}=i!-\sum_jh_j(i-j)!\)

\(g\) 的求法也类似，以总方案数减去不合法的方案数，\(g_i=sval_i-\sum_j(f_jsval_{i-j}-g_{j}(i-j)!)\)，计算原因：一段权值，算重的既有前面的，又有后面的，\(f_i\) 为后面权值算重次数，\(sval_{i-j}\) 为算重的权值，\(g_i\) 为前面算重的权值，\((i-j)!\) 为算重的次数。\(sval_i\) 为不顾连通性的方案和（所有可能的选取方案和）。

接下来考虑如何计算 \(sval_i\)，简单的为所有的权值 \(\times\)出现的个数。

转移为 \(sval_i=\sum_jF_j\times(i-j)\times {2\choose i}\times (i-2)!\)，\(i-j\) 为权值选择方案，\({2\choose i}\) 为数列位置选择方案，\((i-2)!\) 为剩下位置随便选。

复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。听说可以用 FFT 优化到 \(\mathcal O(n\log n)\)。

P1758 [NOI2009] 管道取珠、

组合意义的应用

将 \(\sum a_i^2\) 看作两种方案相同的方案数，就可以转移了