乱记

2024.8.9

\[x\times x^{\underline{k}}=x^{\underline{k+1}}+kx^{\underline{k}} \]

普通幂转下降幂——数学归纳证明

\[\def\a#1#2{3#1 3#2} \a{c}{d} \]

\[求[x^n](\sum_{i}a_ix^i)(\sum_{i}b_ix^i)\\可以考虑枚举左侧的项，找到对应的右侧的项，而不用真正将这个展开形式求出来。\\(有时求不出来) \]

二维线性DP用区间DP的四边形不等式优化：记录详情 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

关心全局与关心最值的转换：\(\forall a_i\le x\implies\max(a_i)\le x,\cdots\)

2024.8.10

• Shopping那道题可以按照dfn DP：子树DP->序列DP

• 组合意义那一道题是因为v的次数最高只有n，其他都只是处理系数，所以直接乘就可以。

• 在总共 \(n\times n\) 个值中除 \(O(n)\) 个值以外操作，相当于整体操作后在对 \(O(n)\) 个值逆操作

• \(\small点分治\Large\longleftrightarrow \small树上启发式合并\)

  \(n^2\to n\log n\)

  划分

  离散

  分治：点分治：递归层数最少（类似二分型分治），树上启发式合并：每次带着继承的重儿子的信息暴力找其轻儿子（类似序列启发式分裂）

2024.8.12

反演：逆运算

子集卷积

至少->恰好->至多

\[\forall k\in\N,{-1\choose k}=(-1)^k \]

2024.8.13

	EGF	OGF
乘法
EXP

2024.8.15

DGF，迪利克雷生成函数——yzy

偏序集莫比乌斯反演——yzy

埃氏筛复杂度证明——nzy

一个乱搞——lph

num(x=d)=num(d|x)-num(d|px)——way

符号化方法——way

2024.8.18

并查集：路径压缩、启发式合并、随机合并，复杂度都是对的。

线段树：结合律，可直接计算贡献

两倍空间线段树：index(L,R)=L+R|L!=R

2024.8.19

将一大部分进行操作可以转换为全局操作加上对另一小部分逆操作

2024.8.20

A 修改 B 查询，可以变为修改会造影响的地方再单点查询。

比如:

• 单点修改前缀查询<--->后缀修改单点查询

• 单点修改链查询<--->子树修改单点查询

如果询问 \(x\) 的限制是 \(\forall i\le x\) ，则可以离线扫描线，所以 \(\forall i\in [l,r]\) 如果可拆为前缀，那么也可以这么做。

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线段树分治、回滚莫队：无法难以删除只能撤销的操作。

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长链剖分与重链剖分。

一个使得保证链长度，一个保证跳轻边数量。除了k级祖先，似乎还没有感受到长链剖分的独特优势。

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DFN求LCA（与欧拉序求LCA不同）

冷门科技 —— DFS 序求 LCA - 洛谷专栏 (luogu.com.cn)

相当于找

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泰勒展开

使得导数的值与原函数相等。

拉格朗日余项——不断使用柯西中值定理。

\(x_0=0\)时的级数：麦克劳林级数

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做题方法

• 记录思路和回顾（便于思路变形）

• 强制换角度（新思路）

• 代数几何转化（形式化清晰思路）

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矩阵乘法线段树

\(C\times\vec a+C\times\vec b=C\times(\vec a+\vec b)\)

\(A\times \vec c+B\times \vec c=(A+B)\times \vec c\)

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kruskal重构树

对每次最小生成树的边建立点，点权等于边权，并用这个点代表合并的集合

构成了一个 \(n\) 个叶子的二叉树

一个合并过程。

例题：到x最短路<=y的节点数

每个最小生成树组成的边的可重集相同。

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压位trie

插入删除、前驱后继

可以做到接近 \(O(1)\)

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静态树上链整体操作->树上差分

2024.8.21

一个思路：什么时候做贡献！这个怎么做贡献，那个怎么作贡献。

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降维方式：

扫描线（配合数据结构）、排序（解决相对大小关系）、CDQ

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分治：

使得两边独立。

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CDQ分治

分治计算，使得我们只需要考虑跨越中间的部分答案，而不需要考虑整个情况。这样就只需要保证两边的相对大小。

具体情况下，可以考虑让左边产生贡献，让右边计算贡献，以树状数组求解

想方法归纳到偏序问题上。

CDQ优化DP（一维的时候就是树状数组优化DP，二维的时候用CDQ消维）

要求做贡献的时候一定将DP值确定下来。（以“左中右”的顺序更新）

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整体二分

首先是二分答案，对于所有询问判断答案是否可行。

必须将做贡献与计算贡献（查询）同时二分，不得调用 \(n,m,q\) 等极大全局变量。

其中二分修改时，分为必定做出贡献与不能做出贡献进行处理。

如果贡献是动态的修改，应保证时间有序。

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线段树合并

三种情况

1. 对应位置相加

2. 一边合并一边更新所穿的传参数[minimax]

3. 需要先合并左子树，再利用左子树的信息合并右子树。

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KDT

查询矩形复杂度 \(\mathcal O(\sqrt n)\)。即期望访问 \(O(\sqrt n)\) 块平面。

本质：一种搜索，靠剪枝来骗分

KDT优化建图

类似线段树优化建图。

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如果算法以\(A\xrightarrow{建出结构}B\xrightarrow{优化}C\)，则有时无需将 \(B\) 显式 建出来，而是考虑如何直接优化。

如：[NOI2019弹跳]，\(KDT\xrightarrow{建出结构}图\xrightarrow{优化}最短路\)

可以直接 \(KDT\)优化最短路， 复杂度减小一个$\log $

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线段树优化建图上Dij的更优算法。

不用显式建图，每次通过线段树\(O(1)\)获得最值所在位置，对所连的 \(c_i\log n\) 个节点直接打tag，然后重复执行，因为每个节点只会取一次，复杂度 \(\mathcal O(n+m\log n)\)，这里避免了每次将多个取值等价的节点放入优先队列，使得队列里存的数从 \(m\log n\) 变为 \(m\)。

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二进制分组：静态数据结构动态化

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根号分治：乘积总数有限。

2024.8.22

建超级原点（有时也可以加上超级汇点），化多元最短路为单源最短路。

可以结合分治使两边独立。

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最短路径树/图

对所有使得 \(dis_v=dis_u+v(u,v)\) 成立的 \((u,v)\) 连边就是图。对于每个 \(v\) 只连一条就是树。

常用于简化动态变化的最短路问题。

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必走某边最短路

必走 \((u,v)\)，则 \(dis(x,y)=mindsis(x,u)+v(u,v)+mindis(v,y)\)，再反过来求一遍。

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同余最短路

一种优化建图。构建同余下的等价关系。

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差分约束

限制 \(x_i-x_j\le w(i,j)\)

注意题目的隐含限制。

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Johnson全员最短路（可以有负权）

Johnson费用流

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boruvka最小生成树

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kruscal重构树

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曼哈顿距离最小生成树

给定平面 \(n\) 个点，求曼哈顿距离的最小生成树

1. 可以仿照 K - 道路建设 的方式建主席树。

2. 支配对？

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完全图最小生成树问题：最优性销边Kruskal

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点分治

如果对于书上每一组 \((x,y)\) ，其贡献都是 \(w_x+w_y-v_{lca(x,y)}\) 则可以使用点分治。

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Kosaraju强连通

在一个点结束递归的时候加入序列，然后倒序遍历这个序列，在反图上DFS，所有能跑到的点即为SCC

算法在稠密图上，可以用bitset加速，做到 \(\mathcal O(\frac {n^2}{w})\)

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点双---->圆方树

方圆相连，构成二分图。（二分树？）

叶节点都是圆点

仙人掌可以完全转化为树只是需要增加码量+分类讨论

并且圆方树是有根树。

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如果图论题中的部分分有 \(m=n-1\) 那么多半正解与树的情况有关

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建虚点其实是为了凑条件，使用一个算法对图的结构有一定要求，建虚点可以凑出。

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竞赛图：

\(n\) 个点的有向完全图，缩点后为一条链，必定有一个哈密顿通路。强连通时，有哈密顿回路。

蓝道定理：

将出度序列从小到大排列的

求强连通竞赛图哈密顿回路的方法：

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通过图中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路，通过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。