【狭义相对论】收缩的是物体，还是参考系？10年内到达比邻星，需要多少能量？

μ介子是一种经过平均寿命 $ 2.2×10^{-6} $ 秒后会自行蜕变的粒子，并且会在大气层顶部。按照最大的速度光速来计算，它在进入大气层后最多运动不超过600米，但是在地面的实验室里搜集的宇宙射线里面，确实有找到μ介子，这是为什么呢？

在《费曼物理学讲义》中，费曼用时间的相对性解释了这个现象。因为μ介子在相对于我们做高速运动，所以他们自身的时间流逝变慢了，在地面的参考系看来，高速μ介子的寿命变成了原本的 $ 1/\sqrt{1-u^2/c^2} $ ，用$ t_0 $ 表示μ介子寿命，则它走过的距离为

$  \frac{u t_0 }{ \sqrt{1-u^2/c^2}} $                       ----- (1)

我的想法是，换个角度，从μ介子坐标系，会看到什么呢？（忽略重力影响，在狭义相对论范围内讨论）

令A表示μ介子参考系，B表示地球参考系。

在μ介子看来，它的速度上限是c，所以运动距离不会超过600米。但是运动方向上的长度，发生了洛伦兹收缩，不仅是物体长度发生了收缩，空间也发生了收缩，变为原来的 $ \sqrt{1-u^2/c^2} $ 倍。μ介子在参考系A中，走过的距离为 $ t_0 u $ ，在地球参考系看来，这个距离为 $ \frac{u t_0 }{\sqrt{1-u^2/c^2}} $ ，这跟在地面参考系得出的答案(1)是一致的。

 

有趣的推论

从这个例子，也可以得出一个有趣的结论，虽然天上的星星离我们很遥远，但是如果能够获取加速到接近光速，是可以在短时间内到达目的地的，而不用花几百年时间。假设不考虑人体承受能力，用s表示地球参考系中与目的地的距离，$ t_arrive $ 表示在飞船参考系中经过的时间，u表示飞船的速度， $ m_e, m_craft $ 表示在地球(earth)、飞船(craft)参考系上飞船的质量，飞船从地球加速到速度u所需要的能量为 $ E_acc $ ，则

$  t_{arrive} = s \sqrt{1 - u^2/c^2} / u $          --- (2)

$  m_{craft} = \frac{ m_e }{ \sqrt{ 1 - u^2/c^2 } }  $          --- (3)

$  E_{acc} = (m_{craft} - m_e) c^2 = (m_e ( \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 - u^2/c^2 } } - 1 )) c^2 $        -----(4)

 联合 (2) (3) (4) 解得

$ u = \sqrt{ \frac{ s^2 c^2 }{ t_{arrive}^2 c^2 + s^2 } } $   -------- (5)

$ E_{acc} =  m_e ( \frac{ s }{ u t_{arrive} } - 1) c^2 $    -------- (6)

假设我们要到达距离我们最近的系外行星比邻星b，查询微积百科得 s = 4.22光年，用发现号的质量带入为质量（装上三具主发动机后总重） m_e = 77,634公斤 猎鹰重型火箭的的质量 m_e = 1,420,788千克，希望10年内到达 $ t_{arrive} = 10年，这里用python脚本代入通过(5) 和 (6) 计算：

from math import sqrt
# 所有值都转为标准单位
s = 4.22 * 3 * 10**8 * 365 * 3600
m_e = 1420788.0
t_arrive = 10.0 * 365 * 24 * 3600
c = 3.0 * 10**8
u = sqrt((s**2 * c**2) / (t_arrive**2 * c**2 + s**2))
E_acc = m_e * (s / (u * t_arrive) - 1) * c**2

 

用上面脚本求得

$$ E_{acc} =  1.9765629411561185 * 10^{19} J $$

 

这个能量什么概念呢，我们来粗略算一下猎鹰重型运载火箭[1]的发射消耗的能量

e1 = 8227 * 1000 * 9 * 162 + 24681 * 1000 * 29 * 162 + 934 * 1000 * 1 * 397
ratio = E_acc / e1
# 结果为 ratio = 154037373.84562492

 也就是说要10年内到达比邻星，按照现有火箭来计算，所需要的能量最小也是猎鹰重型火箭的1.5亿倍！

 

参考：

[1]维基百科 猎鹰重型火箭 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8D%B5%E9%B7%B9%E9%87%8D%E5%9E%8B%E9%81%8B%E8%BC%89%E7%81%AB%E7%AE%AD