CF1842G Tenzing and Random Operations 题解

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思路

牛逼。

好吧还是推式子。

首先会发现这些操作后，\(a_i\) 会变成 \((a_i + v + v + \cdots)\)，即原数加上一堆 \(v\)。不好直接维护，因为 \(m \le 10^9\)，所以考虑拆贡献。用乘法分配律将这个式子展开，即将 \(\prod \limits_{i = 1}^n (a_i + v + v + \cdots)\) 展开，对于这 \(n\) 个数中每一个数都选一项。最后会得到形如一堆原数乘上一堆 \(v\)，最后再相加。

钦定的时候有三种情况：

1. 选择原数 \(a_i\)。贡献为 \(a_i\)；
2. 选择之前已经被钦定的 \(v\)，也就是在前 \(i - 1\) 个数的选择中，有一些（个）数也选了这个同样的 \(v\)，贡献为 \(j \times v\)，其中 \(j\) 为之前用过的 \(v\)；
3. 选择之前未被钦定的 \(v\)，此时有 \(m - j\) 个 \(v\) 没有被钦定，同时还需要钦定这个 \(v\) 的位置。因为每一个 \(v\) 会影响其后缀，所以有 \(i\) 个位置可以被钦定（即 \(1 \sim i\)）。综上，贡献为 \((m - j) \times i \times v\)，其中 \(j\) 为之前用过的 \(v\)；

这样就可以 DP 了。设 \(dp_{i, j}\) 代表 \(1 \sim i\) 这个前缀中，钦定的数中有 \(j\) 个 \(v\) 时这部分的贡献。那直接 DP：

1. 选择原数：\(dp_{i + 1, j} \leftarrow dp_{i, j} \times a_i\)；
2. 选择已被钦定的 \(v\)：\(dp_{i + 1, j} \leftarrow dp_{i, j} \times j \times v\)；
3. 选择未被钦定的 \(v\)：\(dp_{i + 1, j + 1} \leftarrow dp_{i, j} \times (m - j) \times i \times v\)。

最后枚举被钦定的 \(v\) 的个数 \(0 \le j \le \min(n, m)\)，答案即为：

\[\sum_{j = 0}^{\min(n, m)}\frac{dp_{n, j} \times n ^ {m - j}}{n ^ m} \]

其中乘上 \(n ^ {m - j}\) 的意思是对于剩下未被钦定的 \(v\)，可以随便放，对答案没有贡献。除以 \(n ^ m\) 是为了算期望。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 5005, mod = 1e9 + 7;

int n, m, v;
int a[N], dp[N][N];

int fastPow(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &v);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld", &a[i]);
	dp[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= min(m, i); j++)
		{
			dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j] * a[i]) % mod;
			dp[i][j] = (dp[i][j] + (dp[i - 1][j] * j % mod) * v) % mod;
			dp[i][j + 1] = (dp[i][j + 1] + (((i * (m - j) % mod) * v % mod) * dp[i - 1][j])) % mod;
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= min(n, m); i++)
		ans = (ans + dp[n][i] * fastPow(n, m - i)) % mod;
	ans = ans * fastPow(fastPow(n, m), mod - 2) % mod;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}